目次
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第I部：$\mathbb{R}^3$ 上の微分形式（第1章〜第5章）
第1章：$dx$ とは何か —— ベクトルを食べる測定器、あるいは横ベクトル
- §1.0 数学者の1次元、物理学者の1次元
- §1.1 リーマン和と行列の積
- §1.2 全微分 $df$ — 変化率を行列にまとめた演算子
- §1.3 ライプニッツの記法と代数的直感
- §1.4 座標変換——測定器を別の目盛りに作り替える
- §1.5 別の座標で書く——演習
- §1.6 本章のまとめと次章への展望
第2章：面積とは何か —— 平行多面体に潜む、符号のルール
- §2.0 測定器と面積・体積、そして長さ
- §2.1 小学校の面積の限界
- §2.2 面積測定器が満たすべき「3つのルール」
- §2.3 面積測定器は「反対称行列」である
- §2.4 面積測定器の内部構造
- §2.5 体積測定器と行列式
- §2.6 本章のまとめと第3章への展望
- 付録A：体積測定器のテンソル積表現 — 全成分の計算
第3章：積分するとは何か —— 有限のマスを数え、最後に極限を取る
- §3.0 曲がったものを測る——小学校以来の借りを返す
- §3.1 体積——3次元、係数1
- §3.2 表面積——2次元、係数1の限界
- §3.3 曲線——1次元、係数1の限界があらわになる
- §3.4 係数をつける——密度と幾何の積
- §3.5 本章のまとめと次章への展望
第4章：変数変換とは何か —— 引き戻し $\Phi^*$：測定器のつじつま合わせ
- §4.0 物理は曲がる、計算は四角
- §4.1 1-form の引き戻し——仕事と運動エネルギー定理
- §4.2 2-form の引き戻し——角運動量保存と面積速度
- §4.3 3-form の引き戻し——質量保存と体積分
- §4.4 引き戻しの性質 —— ここまでに確立したこと
- §4.5 本章のまとめと第5章（外微分）への展望
第5章：微分するとは何か —— 外微分 $d$：積分量と局所法則
- §5.0 微分側への橋——観測は積分、法則は微分
- §5.1 $df$ 再訪——微分と積分は逆演算か
- §5.2 閉ループで姿を現す「ズレ」
- §5.3 微小ループの解体——ズレは面積に比例する
- §5.4 $d$ の誕生——面積あたりのズレを測る新しい測定器
- §5.5 一般の $1$-form の外微分——3次元への拡張
- §5.6 集積すれば境界だけが残る——ストークスの定理
- §5.7 同じことをもう一段——$2$-form の外微分と発散
- §5.8 $d^2 = 0$——ズレのズレは残らない
- §5.9 外微分の統合——一つの式、一つのルール
- §5.10 積分から微分方程式へ——物理法則の局所化
- §5.11 第II部への展望——ホッジ・スターへの伏線
- 付録B：外微分の行列表示
- B.1 $0$-form：$df$ の $1 \times 3$ 行ベクトル
- B.2 $1$-form：係数のヤコビ行列 $\mathbf{J}$
- B.3 $d\omega = \mathbf{J}^T - \mathbf{J}$
- B.4 $2$-form：$d\eta$ とヤコビ行列のトレース
- B.5 $d^2 f = 0$ とヘッセ行列
- 付録C：電磁気の積分形と微分形式
- C.1 物理量の次数
- C.2 電荷に関するガウスの法則
- C.3 磁束の法則
- C.4 ファラデーの法則
- C.5 アンペール・マクスウェルの法則
- C.6 何に計量が必要か
第II部：ベクトル解析（第6章〜第9章）
第6章：計量 $g$ とホッジ・スター $\ast$ — 内積の召喚と次数の反転
- §6.0 言い訳の終焉——内積を解放する
- §6.1 パラメータ空間の内積——計量 $g$ の正体
- §6.2 $g$ による縦ベクトルと横ベクトルの変換
- §6.3 ホッジ・スター $\ast$ ——二つの方法を繫ぐ対応
- §6.4 対応の実例——微分形式とベクトル解析
- §6.5 三つの演算の型——grad, rot, div
- §6.6 ベクトル解析へ向けて
- 付録D：ホッジ・スターの配列表示
- D.1 $\ast_{1\to2}$ ——三つの係数を反対称行列へ置く
- D.2 $\ast_{2\to1}$ ——フロベニウス積による係数抽出
- D.3 $1$-form と $2$-form の場合の $\ast\ast=\mathrm{id}$
- D.4 $\ast_{0\to3}$ と $\ast_{3\to0}$ の配列表示
- D.5 まとめ
第7章：ベクトル解析 —— ナブラの登場
- §7.0 ナブラの登場
- §7.1 ドット積とクロス積
- §7.2 $\nabla$ と勾配
- §7.3 発散
- §7.4 回転
- §7.5 ラプラシアン
- §7.6 恒等式
- §7.7 ナブラの公式集
- §7.8 積分定理——ストークス・ガウス・グリーン
- §7.9 第8章へ —— 矢印を見るな、測定器を見ろ
第8章：二つの言語 —— 測定器の微分と、場の微分
- §8.0 本書のハイライト
- §8.1 二つの微分、二つの世界
- §8.2 翻訳辞書の完成
- §8.3 ストークスの定理を翻訳する
- §8.4 ガウスの定理を翻訳する
- §8.5 なぜ二つの言語は一致するのか
- §8.6 曲線座標と二つの方法
第9章：実戦 —— 辞書を作り、難問を解く
第III部：発展と統合（第10章〜第12章）
第10章：マクスウェル方程式 —— 美しさのその先へ
- §10.0 お約束
- §10.1 マクスウェル方程式——2本で書く
- §10.2 電磁場 $F$ と符号規約の固定
- §10.3 ミンコフスキー計量——$\mathbb{R}^3$ から4次元へ
- §10.4 $dF=0$ を全部書き下す
- §10.5 $\ast F$ と残りの2本
- §10.6 ポテンシャル構成——$F=-d\mathcal{A}$ から始める
- 付録E：$d_4F$ と $d_4(\ast_4F)$ のスライス行列表示 —— $4\times4\times4$ 配列で見るマクスウェル方程式
- E.1 基底 $3$-form とそのスライス行列 —— 全16枚
- E.2 $dF$ をスライス行列で書く
- E.3 フロベニウス積で係数を抜き出す
- E.4 $dF=0$ をスライスで読む
- E.5 $d_4(\ast_4F) = \mu_0(\ast_4\mathcal{J})$ のスライス表示
- 付録F：第5章の4本の式と、第10章の2本の式
- F.1 空間上の $(E,B,J,\rho_{\mathrm e})$
- F.2 空間上の4本の式
- F.3 $d_4F=0$ から2本が出る
- F.4 $d_4(\ast_4F)=\mu_0(\ast_4\mathcal J)$ から残り2本が出る
- F.5 まとめ
第11章：曲がった空間へ —— 本書の先にあるもの
- §11.0 この章の立ち位置 —— さらに先を見たい読者のための道標
- §11.1 多様体 —— $\mathbf{g}(x)$ から始める
- §11.2 リーマン幾何学 —— テンソル解析のスタイル
- §11.3 その先へ