第5章：微分するとは何か —— 外微分 $d$：積分量と局所法則
§5.0 微分側への橋——観測は積分、法則は微分
第3章で我々は、曲線・曲面・領域上の積分を $k$-form の言葉で定義した。曲線 $\gamma$ に沿った仕事は $\int_\gamma \omega$、曲面 $S$ を貫く流量は $\iint_S \eta$、領域 $V$ の総質量は $\iiint_V \Omega$ である。いずれも「$k$-form（測定器）に $k$ 個の変位ベクトルを食わせてスカラーを得、領域全体で集計する」という同一の原理に従っていた。
第4章では、同じ積分を別の変数で計算するために、測定器を作り替える操作——引き戻し $\Phi^*$——を導入した。これで、積分値を保ったまま計算側の変数を変える道具も手に入った。
ここで我々が手にした積分は、すべて領域全体にわたる量である（以下こうした量を大域的と呼ぶ）。仕事は曲線全体にわたる総和であり、流量は曲面全体を貫く総量であり、質量は領域全体での総計だ。それらは測定器の当て方と領域の選び方に依存する。
しかし、物理学者が最終的に欲しがるのは、これだけではない。積分量として観測される法則の背後に、各点で成り立つ局所的な関係を見たい。マクスウェル方程式にせよナビエ–ストークス方程式にせよ、自然界の基本法則は空間の各点・各瞬間において何が成り立つかを記述する局所的な関係——微分方程式——として書かれる。大域的な積分量は領域に依存するが、局所的な法則は領域に依存しない普遍性を持つからだ。
注 （大域的／局所的という用語）他書では似た対比をマクロ／ミクロと呼ぶこともある。ただし本章では、スケールの大小というより、領域全体に積分された量と、各点で成り立つ関係の対比を指して、大域的／局所的という語を使う。
ここに根本的な問いが生まれる。
積分された量から、どのようにして局所法則を取り出すのか。
この問いに答えるのが本章の主題——外微分 $d$——である。$d$ は $k$-form に作用して $(k+1)$-form を返す演算子であり、第3章で定義した積分と組み合わせることで「境界で測った大域的な積分」を「内部の局所的な変化の集積」へと翻訳する。いわば、$d$ は積分法則を微分法則に変換する装置なのである。
本章の構成はこうだ。まず第1章で導入した $df$ を思い出し、一般の $1$-form を閉ループで測ったときに残るズレから $d\omega$ を作る。次に同じ考えを $2$-form まで拡張し、ストークスの定理とガウスの定理を一つの形へまとめる。最後に $d^2=0$ の構造と、外微分が物理法則をどのように局所化するかを見て、次章のホッジ・スターへつなぐ。
§5.1 $df$ 再訪——微分と積分は逆演算か
5.1.1 $df$ は「次元上げ」をしている
第1章 §1.2 で、我々は関数 $f(x,y,z)$ の全微分を横ベクトルとして定義した：
$$df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy + \frac{\partial f}{\partial z}\,dz = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} & \frac{\partial f}{\partial z} \end{pmatrix}$$これは $0$-form（スカラー場 $f$）を入力として $1$-form（横ベクトル $df$）を出力する操作である。次数が 0 から 1 へ上がった。
ここで思い出してほしいのは、$df(\mathbf{v})$ が変位 $\mathbf{v}$ に対する $f$ の一次変化量を返す、ということだ。$\mathbf{v} = \begin{pmatrix}\Delta x\\\Delta y\\\Delta z\end{pmatrix}$ が十分小さいとき：
$$df(\mathbf{v}) = \frac{\partial f}{\partial x}\,\Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}\,\Delta y + \frac{\partial f}{\partial z}\,\Delta z \approx f(\mathbf{r}+\mathbf{v}) - f(\mathbf{r})$$$df$ 単独では「変化量そのもの」ではない——第1章 §1.1.6 の契約どおり、$df$ は演算子であり、変位ベクトルに作用して初めて数値が得られる。
5.1.2 線積分すると端点の差だけが残る
この $df$ を曲線 $\gamma$ に沿って積分する。第3章 §3.3.1 の定義どおり、曲線を小区間に刻み、各ステップの変位 $\Delta\mathbf{r}_i$ に $df$ を食わせて足し上げる。
各区間で $df(\Delta\mathbf{r}_i) \approx f(\mathbf{r}_i) - f(\mathbf{r}_{i-1})$ だから、全区間の和は：
$$\sum_{i=1}^n df(\Delta\mathbf{r}_i) \approx \sum_{i=1}^n \bigl(f(\mathbf{r}_i) - f(\mathbf{r}_{i-1})\bigr)$$この和を展開すると：
$$\bigl(f(\mathbf{r}_1)-f(\mathbf{r}_0)\bigr) + \bigl(f(\mathbf{r}_2)-f(\mathbf{r}_1)\bigr) + \cdots + \bigl(f(\mathbf{r}_n)-f(\mathbf{r}_{n-1})\bigr)$$隣り合う項 $f(\mathbf{r}_1), f(\mathbf{r}_2), \dots, f(\mathbf{r}_{n-1})$ がプラスとマイナスで打ち消し合う——望遠和（telescoping sum）だ。生き残るのは最初と最後だけ。刻みを無限に細かくする極限で：
$$\int_\gamma df = f(\mathbf{r}_n) - f(\mathbf{r}_0) = f(B) - f(A)$$ここで $A$ は曲線の始点、$B$ は終点である。
【ここまでのチェックポイント】
- $\int_\gamma df = f(B) - f(A)$。積分の結果は経路の形状に一切依存せず、端点の値だけで決まる。
- これは $df$ という特別な $1$-form だからこそ成立する。力学でいえば「保存力の仕事は経路によらない」という事実の数学的根拠だ。
5.1.3 第3章の例で確かめる
第3章 §3.4.1 で我々は、$\omega = y\,dx + x\,dy$ を単位円 $\gamma(t) = (\cos t,\; \sin t,\; 0),\; t \in [0,2\pi]$ に沿って積分し、結果が $0$ になることを計算した。あのときは係数に沿って愚直に積分したが、いまの言葉で見直すと話はもっと単純だ。
実は $y\,dx + x\,dy$ は $d(xy)$ にほかならない。なぜなら：
$$d(xy) = \frac{\partial (xy)}{\partial x}\,dx + \frac{\partial (xy)}{\partial y}\,dy + \frac{\partial (xy)}{\partial z}\,dz = y\,dx + x\,dy$$したがって $\omega = df$（$f = xy$）であり、§5.1.2 の望遠和の理屈がそのまま使える。単位円は閉曲線だから $B = A$、よって：
$$\oint_\gamma \omega = \oint_\gamma d(xy) = xy\Big|_A^A = \cos 0\cdot\sin 0 - \cos 0\cdot\sin 0 = 0$$あのときの $\int_0^{2\pi} \cos 2t\,dt = 0$ という計算は、実は $\omega$ が $d(xy)$ という完全形式だったからこそ、機械的にゼロになったのである。
注 （完全形式）$\omega = df$ と書ける $1$-form を完全形式（exact form）と呼ぶ。完全形式を閉曲線に沿って積分すると、$f$ が一価関数である限り必ずゼロになる。一方「ある閉曲線で積分がゼロになったからといって、その形式が完全形式だとは限らない」という点には注意が必要である（すべての閉曲線でゼロになるかどうかは領域の位相とも関係する）。この点は §5.2 で詳しく見る。
注 （$d$ と $\int$ の関係——逆写像ではなく境界公式）$\int_\gamma df = f(B)-f(A)$ は、積分が外微分 $d$ の大域的な逆写像である、という意味ではない。積分は曲線 $\gamma$ の選び方に依存する汎関数であり、$df$ から元の関数 $f$ 全体を復元する操作ではない。この式は「完全形式を曲線に沿って積分すると、端点という境界だけが残る」という微積分学の基本定理である。後で見る Stokes 型公式の $0$-form 版だ、と考えるのが安全である。
§5.2 閉ループで姿を現す「ズレ」
5.2.1 一般の $1$-form ではどうか
では、一般の $1$-form
$$\omega = P(x,y,z)\,dx + Q(x,y,z)\,dy + R(x,y,z)\,dz$$ではどうか。ここで $P, Q, R$ は場所ごとに変わる係数（スカラー場）であり、第3章 §3.4.1 で導入した「一般の $1$-form」である。
注 （「一般の」とはどういうことか）§5.1 で扱った $df$ は、係数が $\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}$ という特別な組み合わせだった——$f$ という一つの関数から偏微分で導かれた三つ組である。一方、ここでの「一般の」$\omega$ は $P, Q, R$ が互いに無関係な、任意の三つのスカラー場である。言い換えれば、$\omega = df$ と書けるとは限らない $1$-form のことを「一般の $1$-form」と呼んでいる。§5.1.3 の $y\,dx + x\,dy$ はたまたま $d(xy)$ と書ける完全形式だったが、そうでないもののほうがむしろ普通なのである。
$\omega$ は力を表すとは限らず、任意の「線に沿って測る測定器」を表す。
この $\omega$ に対して、§5.1 と同じ望遠和が成り立つ保証はない。それを判定する最も簡潔な方法は閉ループ——始点と終点が同じ曲線——で積分してみることだ。もし $\int_\gamma \omega$ が端点の値の差だけで書けるなら、閉ループでは $f(A)-f(A)=0$ とならなければならない。
閉ループに沿った線積分を $\oint_\gamma \omega$ と書く。一般には：
$$\oint_\gamma \omega \neq 0$$である。摩擦力に逆らって物体を一周させれば仕事はゼロにならず、渦巻く水流に沿って一周すれば正味の仕事を受ける。この「閉じても帳尻が合わない」という事実こそが、循環や渦のような局所構造の証拠だ。
注 （物理を知らなくても大丈夫）摩擦力や水流をまだ物理学で扱っていない読者も、ここで立ち止まる必要はない。いま重要なのは具体的な物理現象ではなく、「閉ループの積分がゼロにならないなら、その場には循環のような局所構造がある」という感覚だけである。物理での詳しい対応は後の章で触れる。
5.2.2 局所情報はどこに宿るか
では、この「一周して残るズレ」はどこから来るのか。閉ループをいきなり大域的な大きさで考えていては、中のどの点がどれだけズレに寄与したのかわからない。第1章で $f'(x)$ を求めたときのことを思い出そう——我々は $\Delta f / \Delta x$ の $\Delta x \to 0$ の極限をとることで、一点での変化率を取り出した。
同じ発想をここでも使う。ループをどんどん小さくしていったとき、一周の積分 $\oint \omega$ の値はどうなるか。もし $\oint \omega$ の主項がループの囲む面積に比例して小さくなるなら、面積あたりのズレ——単位面積あたりどれだけ帳尻が合わないか——という量が、その点に固有の値として決まるはずだ。
逆に、もし比例しなければ（たとえばループの周の長さに比例するなら）、面積あたりの量としては決まらず、「その点での性質」とは呼べない。つまり問題はこうだ：
微小ループを一周したとき、$\oint \omega$ の主項は囲んだ面積に比例するのか。比例するなら、その比例係数は何か。
次節で実際に、$xy$ 平面に置いた微小長方形でこの問いに答える。
§5.3 微小ループの解体——ズレは面積に比例する
5.3.1 $xy$ 平面の微小長方形
空間内の点 $(x, y, z)$ を左下の頂点とし、$xy$ 平面に平行な微小長方形を考える。$x$ 方向の幅を $\Delta x$、$y$ 方向の幅を $\Delta y$ とする。この長方形の四辺を反時計回り（右手系）に一周し、$\omega = P\,dx + Q\,dy + R\,dz$ を積分する。
各辺での積分を、テイラー展開の1次近似（$\Delta x, \Delta y$ が十分小さいとして）で評価しよう。
注 （テイラー展開について）「テイラー展開」という言葉に身構える必要はない。ここで使うのは多変数関数の1次近似——第1章 §1.2.1 で $\Delta f \approx f'(x)\,\Delta x$ とやったのと同じことだ。たとえば $Q(x+\Delta x, y)$ を $x$ 方向に $\Delta x$ だけずらした値は、$Q$ の $x$ に関する偏微分 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ を使って $Q + \frac{\partial Q}{\partial x}\,\Delta x$ と近似できる。$\Delta x$ が十分小さければ、$\Delta x$ の2次以上の項（$(\Delta x)^2$ やそれ以上）は $\Delta x$ に比べて圧倒的に小さいため無視してよい——これが1次近似の意味である。
$z$ は一定なので $dz=0$、$R$ の項は寄与しない。
辺1（下辺、右向き）：$(x, y)$ から $(x+\Delta x, y)$ へ。$y$ 一定なので $dy=0$。$P$ はおよそ $P(x, y, z)$。寄与は $P(x, y, z)\,\Delta x$。
辺2（右辺、上向き）：$(x+\Delta x, y)$ から $(x+\Delta x, y+\Delta y)$ へ。$dx=0$。$Q$ を $x$ 方向に $\Delta x$ だけずれた位置で評価する：
$$Q(x+\Delta x, y, z) \approx Q(x, y, z) + \frac{\partial Q}{\partial x}\Delta x$$寄与は $\bigl(Q + \frac{\partial Q}{\partial x}\Delta x\bigr)\,\Delta y$。
辺3（上辺、左向き）：$(x+\Delta x, y+\Delta y)$ から $(x, y+\Delta y)$ へ。負の方向なので符号が反転。$P$ を $y$ 方向に $\Delta y$ だけずれた位置で：
$$P(x, y+\Delta y, z) \approx P(x, y, z) + \frac{\partial P}{\partial y}\Delta y$$寄与は $-\bigl(P + \frac{\partial P}{\partial y}\Delta y\bigr)\,\Delta x$。
辺4（左辺、下向き）：$(x, y+\Delta y)$ から $(x, y)$ へ戻る。寄与は $-Q(x, y, z)\,\Delta y$。
四辺の寄与を合計する：
$$\begin{aligned} \oint \omega &\approx P\Delta x + (Q + \frac{\partial Q}{\partial x}\Delta x)\Delta y - (P + \frac{\partial P}{\partial y}\Delta y)\Delta x - Q\Delta y \\ &= P\Delta x + Q\Delta y + \frac{\partial Q}{\partial x}\Delta x\Delta y - P\Delta x - \frac{\partial P}{\partial y}\Delta x\Delta y - Q\Delta y \\ &= (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})\,\Delta x\,\Delta y \end{aligned}$$$P\Delta x$ と $Q\Delta y$ の項が美しく相殺し、残ったのは $(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})\,\Delta x\,\Delta y$ だけだ。
5.3.2 決定的な事実
この結果が告げていることはただ一つ：
一周して残るズレの主項は、囲んだ面積 $\Delta x\,\Delta y$ に比例する。
そして比例係数 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ こそが、点 $(x,y,z)$ における単位面積あたりのズレ——その点での「渦の強さ」を表す局所量——である。より正確には、微小長方形 $R_{\Delta x,\Delta y}$ について
$$\lim_{\Delta x,\Delta y\to 0}\frac{1}{\Delta x\,\Delta y}\oint_{\partial R_{\Delta x,\Delta y}}\omega = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$$という極限で取り出される量である。
これは第1章で $f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$ とやったのと同じ発想の「微分」だ。分母が「動いた距離」から「囲んだ面積」に変わっただけで、変化率を局所的に取り出すという精神は変わっていない。
注 （なぜ $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}$ だけが残るか）$\frac{\partial P}{\partial x}$ や $\frac{\partial Q}{\partial y}$ は出てこない。$P$ の $x$ 方向の変化（$\frac{\partial P}{\partial x}$）は下辺と上辺で同じ向きに効くため相殺し、$Q$ の $y$ 方向の変化（$\frac{\partial Q}{\partial y}$）も右辺と左辺で相殺する。生き残るのは「$P$ の $y$ 方向の変化」と「$Q$ の $x$ 方向の変化」——互いに直交する方向への偏微分の差だけだ。この交叉性が、次節以降のすべての鍵になる。
§5.4 $d$ の誕生——面積あたりのズレを測る新しい測定器
5.4.1 ウェッジ積の再確認
§5.3 で得た $(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})\,\Delta x\,\Delta y$ を、第2章の言葉で言い直そう。第2章 §2.4.4 で我々は、$dx \wedge dy$ という面積測定器を定義した。これは2本のベクトル $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2$ を食わせると、それらが $xy$ 平面に落とす影の符号付き面積を返す装置だった：
$$(dx \wedge dy)(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2) = \det\begin{pmatrix} dx(\mathbf{v}_1) & dx(\mathbf{v}_2) \\ dy(\mathbf{v}_1) & dy(\mathbf{v}_2) \end{pmatrix}$$特に、$x$ 方向の変位 $\Delta x\,\hat{e}_x$ と $y$ 方向の変位 $\Delta y\,\hat{e}_y$ を食わせれば $(dx \wedge dy)(\Delta x\,\hat{e}_x,\; \Delta y\,\hat{e}_y) = \Delta x\,\Delta y$ である。
5.4.2 $d\omega$ の定義
§5.3 の結果をこの言葉で書けば、微小長方形の二辺 $\Delta x\,\hat{e}_x,\; \Delta y\,\hat{e}_y$ に対して、ある新しい $2$-form が $(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})\,\Delta x\,\Delta y$ という主項を返したことになる。この $2$-form を $\omega$ の外微分と呼び、$d\omega$ と書く：
$$d\omega := (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})\,dx \wedge dy$$$d\omega$ は $2$-form である——2本のベクトルを食べてスカラーを返す。その値は「食わせた2本が張る微小平行四辺形に対する、単位面積あたりの閉ループのズレ」を表す。
ここで起きていることを整理しよう：
- 入力：$\omega = P\,dx + Q\,dy + R\,dz$（$1$-form、ベクトル1本を食べる線の測定器）
- 出力：$d\omega = (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})\,dx \wedge dy$（$2$-form、ベクトル2本を食べる面の測定器）
- 操作：$d$ は次数を 1 から 2 へ一つ上げる
これは §5.1 で見た $df$ とまったく同じ構造だ。$d$ は $0$-form $f$ に作用して $1$-form $df$ を返し、$1$-form $\omega$ に作用して $2$-form $d\omega$ を返す。$d$ の大きな働きの一つは「次数を1つ上げる」ことにある。
【ここまでのチェックポイント】
- $df$ は $0$-form → $1$-form の外微分だった。$\int_\gamma df = f(B)-f(A)$（端点のみに依存）。
- 一般の $\omega$ では閉ループで $\oint \omega \neq 0$。このズレを調べるためにループを微小化する。
- $xy$ 平面の微小長方形では $\oint \omega = (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})\,\Delta x\,\Delta y +$ 高次の項。ズレの主項は面積に比例する。
- この比例係数を測る $2$-form を $d\omega := (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})\,dx \wedge dy$ と定義する。$d$ は次数を上げる演算子。
§5.5 一般の $1$-form の外微分——3次元への拡張
5.5.1 $yz$ 平面と $zx$ 平面
§5.3–§5.4 では $xy$ 平面のループだけを考えた。しかし 3次元空間には面の向きが3種類ある。$yz$ 平面の微小長方形では同様の計算で $(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z})\,\Delta y\,\Delta z$ が、$zx$ 平面では $(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x})\,\Delta z\,\Delta x$ が得られる。それぞれ $dy \wedge dz$ と $dz \wedge dx$ に対応する。
直感から導かれる完全な式はこうだ：
$$d\omega = (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z})\,dy \wedge dz + (\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x})\,dz \wedge dx + (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})\,dx \wedge dy$$注 （$2$-form は傾いた平行四辺形を測る）この $d\omega$ は $2$-form——2本のベクトルを食べる測定器——である。食わせる2本は、$xy$ 平面に平行とは限らない。3次元空間の中に斜めに浮かぶ微小平行四辺形の二辺 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2$ を食わせれば、その面に対する単位面積あたりの閉ループのズレを返す。§5.3 でやったのとまったく同じこと——測定する面が座標平面に平行とは限らなくなっただけだ。2本のベクトルから平行四辺形の面積（と向き）を取り出すしくみは、第2章 §2.4 で $dy \wedge dz$ 等を反対称行列として構成したときにすでに確かめてある。
5.5.2 代数的導出——ライプニッツ則と $d(dx)=0$
上記の式は、各平面で別々にループ計算をしても当然導ける。しかし、毎回ループを描いて四辺を足すのは面倒だ。ここでやることは、§5.3 で幾何的に導入した外微分を計算用の代数ルールに焼き直し、これが確かに外微分を再現することの確認である。すなわち、$xy$平面の例から得た直感を使って、機械的に計算できる形へ移そう。
注 （公理的定義との関係）多くの数学書では、ライプニッツ則と $d(dx)=0$ を $d$ の定義として置くことも多い。その定義は簡潔だが、なぜそのルールになるのかは見えにくい。本書では、微小ループの解体から出発する。これから確かめるのは、その幾何的な $d$ と代数的な計算ルールが整合することだ。ルールは計算の便宜、意味は §5.3 にある。もっとも、高次元まで見据えれば、この代数的定義が非常に簡潔であることも確かである。
まず、$\omega = P\,dx + Q\,dy + R\,dz$ に対し、$d\omega$ を $d(P\,dx) + d(Q\,dy) + d(R\,dz)$ であることは問題ないだろう。これは傾いた平行四辺形のループを考えるということだ。問題は $d(P\,dx)$ ——係数 $P$ のついた $1$-form に $d$ をどう作用させるか——である。
ここで、§5.3–§5.4 で得た幾何的な $d$ がすでに教えてくれていることがある。$\omega = P\,dx$（$Q=R=0$）の場合、§5.3 の微小ループ計算を $xy$ 平面だけでなく $zx$ 平面でも行えば、$d(P\,dx)$ は $yz$ 面に成分を持たず、
$$d(P\,dx) = \frac{\partial P}{\partial z}\,(dz \wedge dx) - \frac{\partial P}{\partial y}\,(dx \wedge dy)$$となるはずだ（$xy$ 面のループでは $(0 - \frac{\partial P}{\partial y}) = -\frac{\partial P}{\partial y}$、$zx$ 面では $(\frac{\partial P}{\partial z} - 0) = \frac{\partial P}{\partial z}$）。
さて、ここで $dP = \frac{\partial P}{\partial x}\,dx + \frac{\partial P}{\partial y}\,dy + \frac{\partial P}{\partial z}\,dz$ を思い出そう（§5.1）。これと $dx$ のウェッジ積をとると：
$$dP \wedge dx = (\frac{\partial P}{\partial x}\,dx + \frac{\partial P}{\partial y}\,dy + \frac{\partial P}{\partial z}\,dz) \wedge dx = \frac{\partial P}{\partial z}\,(dz \wedge dx) - \frac{\partial P}{\partial y}\,(dx \wedge dy)$$（$dx \wedge dx = 0$ により $\frac{\partial P}{\partial x}$ の項は消えた）
幾何的計算と完全に一致する。すなわち、少なくとも $P\,dx$ という形の項について：
$$d(P\,dx) = dP \wedge dx$$が成り立つ。つまり、係数 $P$ の場所による変化だけが、$dx$ 方向の測定器に新しい面積測定器として貼りつく。
幾何的結果とライプニッツ則 $d(P\,dx) = dP \wedge dx + P\,d(dx)$ を見比べれば、余分な項 $P\,d(dx)$ はゼロでなければならない。$P$ は任意の関数だから、これが常に成り立つためには $d(dx)=0$ でなければならない——すなわち $d(dx) = 0$ が要請される。
この観察を一般化すると、次の次数付きライプニッツ則に到達する。$P$ は $0$-form、$dx$ は $1$-form であり、$0$-form と $1$-form の「積」に対する $d$ の振る舞いは：
$$d(P\,dx) = (dP) \wedge dx + P\,d(dx)$$$dP$ は既知——§5.1 より $dP = \frac{\partial P}{\partial x}\,dx + \frac{\partial P}{\partial y}\,dy + \frac{\partial P}{\partial z}\,dz$。問題は $d(dx)$ の値だ。
ここで、座標関数 $x$ の外微分は $dx$ である（$d(x) = dx$）。デカルト座標の $dx$ は、場所によって係数が変わらない基準の測定器である。つまり $dx$ 自身を微小ループで一周させても、面積あたりのズレは出てこない。同じことが $dy,dz$ にも成り立つ。したがって座標基底については次を計算ルールとして置く：
$$d(dx) = d(dy) = d(dz) = 0$$すると：
$$d(P\,dx) = (\frac{\partial P}{\partial x}\,dx + \frac{\partial P}{\partial y}\,dy + \frac{\partial P}{\partial z}\,dz) \wedge dx + P\,0$$$\wedge$ の反対称性（$dx \wedge dx = 0$、$dy \wedge dx = -dx \wedge dy$）を使って：
$$d(P\,dx) = \frac{\partial P}{\partial x}\,(dx \wedge dx) + \frac{\partial P}{\partial y}\,(dy \wedge dx) + \frac{\partial P}{\partial z}\,(dz \wedge dx) = \frac{\partial P}{\partial z}\,(dz \wedge dx) - \frac{\partial P}{\partial y}\,(dx \wedge dy)$$同様に：
$$\begin{aligned} d(Q\,dy) &= (\frac{\partial Q}{\partial x}\,dx + \frac{\partial Q}{\partial y}\,dy + \frac{\partial Q}{\partial z}\,dz) \wedge dy = \frac{\partial Q}{\partial x}\,(dx \wedge dy) - \frac{\partial Q}{\partial z}\,(dy \wedge dz) \\ d(R\,dz) &= (\frac{\partial R}{\partial x}\,dx + \frac{\partial R}{\partial y}\,dy + \frac{\partial R}{\partial z}\,dz) \wedge dz = -\frac{\partial R}{\partial x}\,(dz \wedge dx) + \frac{\partial R}{\partial y}\,(dy \wedge dz) \end{aligned}$$三つを足し合わせ、基底 $dy \wedge dz,\; dz \wedge dx,\; dx \wedge dy$ の順に整理する（この巡回順は次章の右手系との整合のための布石である）：
$$\begin{aligned} d\omega &= (-\frac{\partial Q}{\partial z} + \frac{\partial R}{\partial y})\,dy \wedge dz + (\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x})\,dz \wedge dx + (-\frac{\partial P}{\partial y} + \frac{\partial Q}{\partial x})\,dx \wedge dy \\ &= (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z})\,dy \wedge dz + (\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x})\,dz \wedge dx + (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})\,dx \wedge dy \end{aligned}$$これは §5.3 で幾何的に導いた $xy$ 成分 $(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})$ を含み、$yz$ と $zx$ の成分も同じ交叉パターンで揃っている。
5.5.3 係数のパターン
係数の並び方に注目してほしい。$(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})$ は、$(P, Q, R)$ の偏微分を自分以外の軸方向に関して交叉させ、差をとったものである。巡回的な対称性がある：
$$\begin{aligned} dy \wedge dz &\longleftrightarrow \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \\ dz \wedge dx &\longleftrightarrow \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \\ dx \wedge dy &\longleftrightarrow \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \end{aligned}$$注 （既習者への補助線）ベクトル解析を既習の読者には、この3つの係数の並びに見覚えがあるだろう。本書ではその名前に依存せず、まず $d$ という操作そのものを組み立てる。対応関係は後の章で整理する。
【ここまでのチェックポイント】
- 一般の $1$-form $\omega$ の外微分 $d\omega$ は $2$-form であり、係数は偏微分の交叉差 $(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})$。
- 計算ルールは (1) 線形性、(2) ライプニッツ則 $d(P\,dx) = dP \wedge dx + P\,d(dx)$、(3) $d(dx)=d(dy)=d(dz)=0$ の三つ。
- 結果は §5.3 の微小ループ計算と完全に整合する。
§5.6 集積すれば境界だけが残る——ストークスの定理
5.6.1 面をタイル貼りする
§5.3 ではひとつの微小長方形の周りで $\oint \omega$ を計算し、その主項が $d\omega$ と面積の積になることを見た。では、この微小長方形を面全体に敷き詰めて、全部足し合わせたらどうなるか。
曲面 $S$ を小さな座標パッチに分け、それぞれのパラメータ平面上で微小長方形に刻む（第3章 §3.2 の面素の考え方そのものだ）。各微小長方形について、面の向きに合う向きで境界を一周した $\omega$ の積分は、面素に $d\omega$ を食わせた値を主項として持つ。
ここでは、曲面はなめらかにパラメータ表示でき、境界にも自然な向きが誘導される場合を考える。面の向きを逆にすれば、境界をたどる向きも同時に逆になる。この「面の向きと境界の向きの組」を固定して初めて、左右の符号が一致する。
5.6.2 内部の辺は相殺する
ここで決定的な幾何学的観察がある。隣り合う二つの長方形が共有する辺に注目しよう。左の長方形にとってその辺は「上向き」、右の長方形にとっては「下向き」にたどられる。経路が逆向きだから、$\omega$ の線積分はこの辺の上で完全に打ち消し合う。
この相殺は面 $S$ の内部のすべての共有辺で起こる。いくら細かく分割して足し合わせても、内部の辺の寄与はプラスマイナスで消えるのだ。
5.6.3 生き残るのは境界だけ
すると、最終的に相殺されずに生き残る辺はどこか——隣の長方形が存在しない辺、すなわち面 $S$ の境界 $\partial S$ に沿った辺だけである。
つまり：
$$\oint_{\partial S} \omega = \iint_S d\omega$$左辺は「面の境界という1次元の閉曲線に沿った $\omega$ の線積分」、右辺は「面の内部に敷き詰めた無数の微小ループのズレ密度の総和」である。分割を細かくする極限で、内部辺の相殺だけが残り、両者が一致する。
これがケルビン–ストークスの定理（単にストークスの定理とも呼ばれる）だ。
$\omega = P\,dx + Q\,dy + R\,dz$ の成分をあらわに書けば：
$$\oint_{\partial S} \bigl(P\,dx + Q\,dy + R\,dz\bigr) = \iint_S \Bigl( (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z})\,dy \wedge dz + (\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x})\,dz \wedge dx + (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})\,dx \wedge dy \Bigr)$$第2章以来の行列の言葉で書くなら、右辺の $2$-form は反対称行列 $\mathbf{J}^T - \mathbf{J}$ で表される。$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2$ を面素の二辺とすれば $(d\omega)(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2) = \mathbf{v}_1^T(\mathbf{J}^T - \mathbf{J})\mathbf{v}_2$。付録B.3に全成分を書き下してあるので、必要に応じて参照されたい。
この定理の構造は驚くほど単純だ。大域的な境界で測った積分 $=$ 内部の局所的なズレ（$d\omega$）の集積。$d$ とは、境界 $\partial S$ における $\omega$ の情報を、内部 $S$ における $d\omega$ の情報へと翻訳する装置なのである。
注 （局所化に使っている仮定）ここでのタイル貼りの説明は、十分なめらかな曲面と場を、十分細かい座標パッチに分けられる状況を前提にしている。境界の尖り、自己交差、特異点などがある場合には、パッチ分割や向きの扱いを別途整える必要がある。本書では物理で通常使う滑らかな場合を扱う。
注 （第3章との対応）第3章 §3.2.1 で曲面積分を定義したとき、我々は面素 $(\mathbf{r}_u\Delta u,\;\mathbf{r}_v\Delta v)$ に $dx \wedge dy$ を食わせていた。ここでも同じく、曲面を小さな面素に分け、各面素で測定器を作用させ、内部で相殺する寄与を整理している。
【ここまでのチェックポイント】
- 面 $S$ を微小ループで敷き詰めると、内部の辺は相殺し、境界 $\partial S$ の寄与だけが残る。
- $\int_{\partial S} \omega = \int_S d\omega$。大域的な境界積分が局所的な外微分の積分に等しい。
- 第3章の曲面積分と同じく、面を小さなパッチに分け、各パッチで測定器を作用させて集計している。
§5.7 同じことをもう一段——$2$-form の外微分と発散
5.7.1 $2$-form は面の測定器
第3章 §3.4.2 で、一般の $2$-form を次の形で書いた：
$$\eta = A\,dy \wedge dz + B\,dz \wedge dx + C\,dx \wedge dy$$これは「面に沿って流量を測る測定器」である。第2章 §2.4.5 で見たように、3つの基底 $2$-form がそれぞれ $yz$ 平面、$zx$ 平面、$xy$ 平面への影の面積を測る。
5.7.2 微小直方体の表面で測る
§5.3 と同じ精神で、今度は空間内の微小直方体 $[x, x+\Delta x] \times [y, y+\Delta y] \times [z, z+\Delta z]$ の6つの面すべてで $\eta$ を積分する。向きは外向きに合わせる。
たとえば $C\,dx \wedge dy$ の項について、$z$ に垂直な底面と上面だけを考える：
- 底面（$z$、外向きは $-z$ 方向）：$C(x,y,z)$ に $-dx \wedge dy$ の向きで評価 → およそ $-C(x,y,z)\,\Delta x\,\Delta y$
- 上面（$z+\Delta z$、外向きは $+z$ 方向）：$C(x,y,z+\Delta z) \approx C + \frac{\partial C}{\partial z}\Delta z$ → およそ $(C + \frac{\partial C}{\partial z}\Delta z)\,\Delta x\,\Delta y$
和をとると $C\Delta x\Delta y$ が相殺し、$\frac{\partial C}{\partial z}\,\Delta x\,\Delta y\,\Delta z$ が残る。$A\,dy \wedge dz$ の項は $x$ に垂直な面から $\frac{\partial A}{\partial x}\,\Delta x\,\Delta y\,\Delta z$ を、$B\,dz \wedge dx$ の項は $y$ に垂直な面から $\frac{\partial B}{\partial y}\,\Delta x\,\Delta y\,\Delta z$ を与える。
全6面の合計は：
$$\iint_{\partial (\text{直方体})} \eta \approx (\frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z})\,\Delta x\,\Delta y\,\Delta z$$ここでも同じ構造だ——表面で測ったズレの主項は、囲んだ体積に比例する。比例係数 $\frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z}$ が「単位体積あたりの湧き出し」を表す。
5.7.3 $d\eta$ の定義と代数的導出
直方体の三辺 $\Delta x\,\hat{e}_x,\; \Delta y\,\hat{e}_y,\; \Delta z\,\hat{e}_z$ を食わせる $3$-form として：
$$d\eta := (\frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z})\,dx \wedge dy \wedge dz$$この式は、§5.5.2 の代数的ルールからも導ける。その前に、§5.5.2 でやったのと同じく、幾何的な結果がライプニッツ則と整合することを $A\,dy \wedge dz$ の項で確かめておこう。
§5.7.2 の幾何計算によれば、$A\,dy \wedge dz$ の寄与は $\frac{\partial A}{\partial x}\,\Delta x\,\Delta y\,\Delta z$ だった。これを $dx \wedge dy \wedge dz$ の言葉で書けば $\frac{\partial A}{\partial x}\,dx \wedge dy \wedge dz$ である。
一方、$d(A\,dy \wedge dz)$ にライプニッツ則を適用すると：
$$d(A\,dy \wedge dz) = dA \wedge dy \wedge dz + A\,d(dy \wedge dz)$$ここで $d(dy \wedge dz)$ は、§5.5.2 と同じく $d(dy)=d(dz)=0$ を使って：
$$d(dy \wedge dz) = d(dy) \wedge dz - dy \wedge d(dz) = 0 \wedge dz - dy \wedge 0 = 0$$したがって第2項は消え、第1項だけが残る：
$$dA \wedge dy \wedge dz = (\frac{\partial A}{\partial x}\,dx + \frac{\partial A}{\partial y}\,dy + \frac{\partial A}{\partial z}\,dz) \wedge dy \wedge dz$$$\wedge$ の反対称性（$dy \wedge dy = 0$、$dz \wedge dz = 0$）により $\frac{\partial A}{\partial y}$ と $\frac{\partial A}{\partial z}$ の項は消え、$\frac{\partial A}{\partial x}\,dx \wedge dy \wedge dz$ だけが残る。これは §5.7.2 の幾何計算と完全に一致する。
$B\,dz \wedge dx$、$C\,dx \wedge dy$ の項も同様で、三つを足し合わせれば：
$$d\eta = (\frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z})\,dx \wedge dy \wedge dz$$$d$ は $2$-form → $3$-form の昇格を果たした。
5.7.4 ガウスの定理
§5.6 と同じタイル貼りの論法——今度は立体 $V$ を微小直方体で埋め尽くす——により、内部の面は相殺し、外面 $\partial V$ だけが残る：
$$\iint_{\partial V} \eta = \iiint_V d\eta$$これがガウスの定理である。ストークスの定理と、次元が一つずつずれただけでまったく同じ形をしている。並べてみれば一目瞭然だ：$\omega$（$1$-form）$\to$ $d\omega$（$2$-form）$\to$ 面 $S$、$\eta$（$2$-form）$\to$ $d\eta$（$3$-form）$\to$ 立体 $V$。
$\eta = A\,dy \wedge dz + B\,dz \wedge dx + C\,dx \wedge dy$ の成分をあらわに書けば：
$$\iint_{\partial V} \bigl(A\,dy \wedge dz + B\,dz \wedge dx + C\,dx \wedge dy\bigr) = \iiint_V (\frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z})\,dx \wedge dy \wedge dz$$注 （既習者への補助線）ベクトル解析を既習の読者には、$\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}$ にも見覚えがあるだろう。本書ではまず $2$-form の外微分としてこの量を得た、という順序を大切にする。名前との対応は後の章で整理する。
【ここまでのチェックポイント】
- $2$-form $\eta$ の外微分 $d\eta$ は $3$-form で、係数は $\frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z}$。
- 導出は §5.5 と同じ代数的ルール（ライプニッツ則 $+$ $d(dx)=0$）で機械的にできる。
- $\iint_{\partial V} \eta = \iiint_V d\eta$。ストークス（$1$-form→面）とガウス（$2$-form→立体）は次数が違うだけで同じ構造。
§5.8 $d^2 = 0$——ズレのズレは残らない
次節でストークスの定理とガウスの定理を一本化する前に、外微分が持つもう一つの基本構造を確認しておこう。$d$ は次数を一つ上げるが、それを二度続けると新しいズレは残らない。この事実は、後で見る「境界の境界は向き付き和として消える」という幾何的構造ともつながっている。
5.8.1 $d(df) = 0$
§5.1 で $df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy + \frac{\partial f}{\partial z}\,dz$ を定義した。これをさらにもう一度外微分してみる。§5.5 の公式で $P = \frac{\partial f}{\partial x},\; Q = \frac{\partial f}{\partial y},\; R = \frac{\partial f}{\partial z}$ とすれば：
$$d(df) = \left(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial y}\right) dy \wedge dz + \left(\frac{\partial^2 f}{\partial z \partial x} - \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z}\right) dz \wedge dx + \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\right) dx \wedge dy$$混合偏微分の対称性（$f$ が $C^2$ 級（2階連続微分可能）なら $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ など。第1章 §1.2 参照）により、すべての係数がゼロになる：
$$d(df) = 0$$注 （公理的な立場での $d^2=0$ と $C^2$ 条件）座標表示で具体的に計算すると、$d^2=0$ は混合偏微分の対称性とウェッジ積の反対称性によって必然的に現れる性質であることがわかる。微分形式の公理的な立場では、逆に $d^2=0$ を要請（定義の一部）とすることで、暗黙のうちに混合偏微分の対称性が成り立つ（$C^2$ 級の）関数クラスを扱っている、と読むこともできる。本書ではまず具体計算を通じて、物理法則の階層に矛盾が生じないための仕組みとして理解する。
5.8.2 $d(d\omega) = 0$
§5.5 の $d\omega$ に §5.7 の公式を適用する。$A = \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; B = \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; C = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ として：
$$d(d\omega) = \left(\frac{\partial^2 R}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 Q}{\partial x \partial z} + \frac{\partial^2 P}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^2 R}{\partial y \partial x} + \frac{\partial^2 Q}{\partial z \partial x} - \frac{\partial^2 P}{\partial z \partial y}\right) dx \wedge dy \wedge dz$$括弧内を展開して並べ替えると：
$$\left(\frac{\partial^2 R}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 Q}{\partial x \partial z}\right) + \left(\frac{\partial^2 P}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^2 R}{\partial y \partial x}\right) + \left(\frac{\partial^2 Q}{\partial z \partial x} - \frac{\partial^2 P}{\partial z \partial y}\right)$$混合偏微分の対称性（$\frac{\partial^2 R}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^2 R}{\partial x \partial y}$ など）により、6項が3組の相殺を起こし、合計はゼロ：
$$d(d\omega) = 0$$【ここまでのチェックポイント】
- $d^2 = 0$：外微分を2回続けると必ずゼロ。混合偏微分の対称性とウェッジの反対称性が相殺を起こす。
- 既習者が知るいくつかの「二度微分すると消える」恒等式は、この $d^2=0$ の別表現として後の章で整理される。
§5.9 外微分の統合——一つの式、一つのルール
5.9.1 ストークスとガウスは同じ式だった
§5.6 で得たストークスの定理 $\oint_{\partial S}\omega = \iint_S d\omega$ と、§5.7 で得たガウスの定理 $\iint_{\partial V}\eta = \iiint_V d\eta$。並べてみると、$\oint$、$\iint$、$\iiint$ と積分記号の数が違うだけで、構造は同一だ。$M$ が曲線なら $\int$（1次元）、曲面なら $\iint$（2次元）、立体なら $\iiint$（3次元）——つまり積分記号の重なりは $M$ の次元で決まるにすぎない。
そこで、次元によらず統一的に：
$$\int_{\partial M} \omega = \int_M d\omega$$と書く。$\omega$ は $k$-form、$M$ は $(k+1)$ 次元領域、$\partial M$ はその $k$ 次元の境界である。$k=0$ なら $\int_{\partial M} f = f(B)-f(A) = \int_M df$ という微積分学の基本定理に、$k=1$ ならストークスの定理に、$k=2$ ならガウスの定理になる。すべてがこの一本の式に吸収される。
この統一形の威力は §5.8 の $d^2=0$ との組み合わせでさらに際立つ。$\int_{\partial M} \omega = \int_M d\omega$ の $\omega$ を $d\omega$ に置き換えれば：
$$\int_{\partial(\partial M)} \omega = \int_{\partial M} d\omega = \int_M d(d\omega) = 0$$つまり 「境界の境界は向き付き和としてゼロになる」（$\partial^2 M = 0$）という幾何学的事実と、$d^2=0$ は互いに呼応している。集合として二度目の境界が常に空になる、という意味ではない。たとえば多角形の境界をさらに境界に分ければ頂点は現れるが、向き付きで数えると隣り合う辺から来た寄与が相殺する。$d^2=0$ はこの位相的な相殺の、微分形式による代数的な写し絵なのである。
注 （3次元までで十分）本書の舞台は 3次元空間だから、$M$ の次元は1・2・3のいずれかであり、$\omega$ は $0$-form・$1$-form・$2$-form のいずれかである。$k=3$（$M$ が4次元）には立ち入らない。しかしこの式が $k$ によらず成立するという事実は、頭の片隅に置いておいて損はない。
5.9.2 一般の $k$-form の外微分
同様に、$d$ の作用も次数によらず一つのパターンにまとまる。任意の $k$-form $\omega$ が係数 $a_{i_1\cdots i_k}$ と基底 $dx_{i_1}\wedge\cdots\wedge dx_{i_k}$ の和で書かれているとき：
$$d\omega = \sum \Bigl( \sum_j \frac{\partial a_{i_1\cdots i_k}}{\partial x_j}\,dx_j \Bigr) \wedge dx_{i_1}\wedge\cdots\wedge dx_{i_k}$$本書で必要なのは $k=0,1,2$ の三つの場合だけであり、それぞれ §5.1（$df$）、§5.5（$d\omega$）、§5.7（$d\eta$）で具体的に書き下した。上の一般形は「どの次数でも、係数を全微分してウェッジでつなぐ」という単一の原理に従っていることの確認にすぎない。
5.9.3 計算ルールまとめ
本章で構築した外微分 $d$ の全計算は、以下の 4 つのルールに集約される：
- $0$-form への作用：$df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy + \frac{\partial f}{\partial z}\,dz$（第1章 §1.2 以来の定義）
- 線形性：$d(\omega_1 + \omega_2) = d\omega_1 + d\omega_2$
- 次数付きライプニッツ則：$d(f\,\omega) = df \wedge \omega + f\,d\omega$
- 座標基底の外微分はゼロ：$d(dx) = d(dy) = d(dz) = 0$
ルール4 は、座標基底 $dx,dy,dz$ 自身には位置による係数の変化がなく、微小ループで測っても局所的なズレを生まない、という幾何的事実を反映している。§5.8 の $d^2=0$ とも整合する。
これら4つのルールさえあれば、$0$-form から $3$-form までの任意の形式の外微分が機械的に計算できる。実際に、本章で扱ったすべての計算はこのルールの組み合わせにすぎない。
注 （引き戻しとの可換性——第4章の伏線回収）第4章で予告したように、引き戻し $\Phi^*$ と外微分 $d$ のあいだには
$$\Phi^*(d\omega) = d(\Phi^*\omega)$$という可換関係が成り立つ。「微分してから引き戻す」のと「引き戻してから微分する」のは同じ結果を与える。この性質は、これまでの4ルールからは直接導けないが、$d$ が「局所的なズレを測る」操作であり、$\Phi^*$ が「座標を焼き直す」操作であることを思い出せば自然に納得できる——局所的なズレの構造は、座標のとり方に依存しないのだ。この事実は、第11章で一般の多様体上の微分形式を考える際の重要な足場となる。
【ここまでのチェックポイント】
- $\int_{\partial M} \omega = \int_M d\omega$ 一本で、微積分学の基本定理・ストークスの定理・ガウスの定理を統合できる。
- $d$ の計算は 4 ルール（$df$、線形性、ライプニッツ則、$d(dx)=0$）に集約される。
- $d^2=0$ と $\partial^2 M=0$ は代数的真理と幾何学的真理の呼応。
§5.10 積分から微分方程式へ——物理法則の局所化
5.10.1 積分法則を微分法則に変える
本章の冒頭に掲げた問いに戻ろう。
積分された量から、どのようにして局所法則を取り出すのか。
答えは、これまでに得た二つの道具——ストークスの定理と外微分 $d$ ——にある。
物理学の多くの基本法則は、まず積分の形で発見される。ある領域の境界で測った量が、内部にある源の総和に等しい、という形だ：
$$\int_{\partial M} \omega = \int_M \eta$$左辺は境界で測った積分（大域的な観測量）、右辺は内部の源の積分（大域的な総量）。$\omega$ と $\eta$ は、それぞれ適切な次数の微分形式である。
ここにストークスの定理を左辺に適用する。$\int_{\partial M} \omega = \int_M d\omega$ だから：
$$\int_M d\omega = \int_M \eta$$移項して：
$$\int_M (d\omega - \eta) = 0$$ここが決定的な瞬間だ。この等式が、十分小さい領域を含む任意の滑らかな領域 $M$ について成り立つならば、被積分形式は各点で恒等的にゼロでなければならない。なぜなら、もし $d\omega - \eta \neq 0$ となる点があれば、その点の周りの微小領域で積分がゼロでなくなり矛盾するからだ。ここでも、場が十分滑らかで特異な集中源を含まない場合を考えている。
したがって：
$$d\omega = \eta$$これが積分法則から抽出された局所微分法則である。$d$ はまさに「積分方程式を微分方程式に変換する演算子」として機能したのだ。
つまり、外微分 $d$ は単に形式の次数を上げる記号ではない。境界で観測された法則を、内部の各点で成り立つ法則へ翻訳するための演算子である。
5.10.2 物理の実例
この構図の典型例は電磁気学の基本法則である。
注 （電磁気学を未習の読者へ）この節では、電磁気学の詳しい内容ではなく、積分形の法則が局所形へ変わるしくみを見る。$E,D,B,H,J,\rho$ は、ここでは物理量の名前というより、「線で測る量」「面で測る量」「体積で測る量」を表す記号だと思って読めばよい。
注 （ベクトル解析で電磁気学を学んだ読者へ）ここでは、通常の三成分ベクトルとしての場ではなく、どの次元の対象に積分するかに合わせて形式の次数を選んでいる。$E,H$ は線に沿って積分されるので $1$-form、$D,B,J$ は面を貫いて積分されるので $2$-form、$\rho$ は体積にわたって積分されるので $3$-form として扱う。通常のベクトル解析記法との対応は、ホッジ・スターを導入した後で整理する。第9章 §9.5・第10章以降では、球座標の動径 $\rho$ と混同しないよう、電荷密度を $\rho_{\mathrm e}$ と書く。
電磁気では、量の種類によって積分する対象が異なる。線に沿って測る量、面を貫いて測る量、体積にわたって測る量がある。そこで模式的に、次のように読むことができる。
| 量 | 測る対象 | 形式 |
|---|---|---|
| $E,H$ | 線に沿って測る | $1$-form |
| $D,B,J$ | 面を貫いて測る | $2$-form |
| $\rho$ | 体積にわたって測る | $3$-form |
たとえば、電荷に関するガウスの法則は
$$ \int_{\partial V}D=\int_V\rho $$という形をしている。左辺は閉曲面 $\partial V$ を通って出ていく電束の総量であり、右辺は内部 $V$ に含まれる電荷の総量である。ストークスの定理を使えば、
$$ \int_{\partial V}D=\int_V dD $$だから、
$$ \int_V dD=\int_V\rho $$となる。これが任意の領域 $V$ で成り立つなら、
$$ dD=\rho $$である。
同じように、閉曲面を貫く正味の磁束がゼロである、という法則は
$$ \int_{\partial V}B=0 $$と書ける。ストークスの定理より、
$$ \int_V dB=0 $$であり、任意の $V$ について成り立つなら、
$$ dB=0 $$となる。
時間変化を含む法則も同じ型を持つ。曲面 $S$ に対して、
$$ \int_{\partial S}E = -\frac{\partial}{\partial t}\int_S B $$なら、
$$ dE=-\frac{\partial B}{\partial t} $$であり、
$$ \int_{\partial S}H = \int_SJ+\frac{\partial}{\partial t}\int_S D $$なら、
$$ dH=J+\frac{\partial D}{\partial t} $$である。ここで $d$ は空間方向の外微分であり、時間変化は $\partial/\partial t$ で表している。
したがって、電磁気の基礎方程式は、この章の言葉では
$$ dD=\rho,\qquad dB=0,\qquad dE=-\frac{\partial B}{\partial t},\qquad dH=J+\frac{\partial D}{\partial t} $$という同じ型の式として現れる。
ここで重要なのは、これらを電磁気学の新しい公式として覚えることではない。境界で測る積分法則が、外微分 $d$ によって内部の局所法則へ移る、という一点である。
一方で、$E$ と $D$、あるいは $B$ と $H$ を関係づけるには、空間や媒質の測り方が必要になる。また、線で測る量と面で測る量を対応させるにも、長さ・面積・体積をどう測るかという追加の規則が必要になる。次章で導入するホッジ・スターは、この対応を与えるための道具である。
成分表示を含む詳しい展開は、付録C「電磁気の積分形と微分形式」に回す。
【ここまでのチェックポイント】
- 物理法則はしばしば $\int_{\partial M} \omega = \int_M \eta$ の形で与えられる。
- ストークスの定理で $\int_{\partial M} \omega = \int_M d\omega$ と書き換え、任意の $M$ で成立することから $d\omega = \eta$（局所法則）を得る。
- ただしこの局所化は、場が十分滑らかで、特異な集中源を含まない領域での議論である。
- $d$ は積分法則を微分法則に変換する演算子である。
§5.11 第II部への展望——ホッジ・スターへの伏線
本章で我々は、外微分 $d$ という強力な演算子を手に入れた。$d$ は：
- $0$-form $\to$ $1$-form：$df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy + \frac{\partial f}{\partial z}\,dz$
- $1$-form $\to$ $2$-form：$d\omega = (\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})\,dy\wedge dz + (\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})\,dz\wedge dx + (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\,dx\wedge dy$
- $2$-form $\to$ $3$-form：$d\eta = (\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z})\,dx\wedge dy\wedge dz$
次数を一段ずつ上げるたびに、係数は異なるパターンで組み替わる。そして $d^2=0$ が、これらの階層の間に矛盾が入り込めないことを保証する。
しかし、ここで一つの非対称性が目につく。$0$-form と $3$-form は独立成分が 1 つ、$1$-form と $2$-form は独立成分が 3 つ——$1, 3, 3, 1$ という対称性がある（第2章 §2.5.9–§2.5.10 で見た）。この対称性は偶然ではない。デカルト座標の 3 次元空間では、長さ・面積・体積を測る規則を加えることで、同じ情報量の形式どうしを結びつける「辞書」が現れる。
その辞書が、次章で導入するホッジ・スター $\ast$ である。ただし、$\ast$ は単なる記号の置き換えではない。どの方向をどの面に対応させるか、面積や体積をどう測るか、向きをどう決めるかに依存する。そのため本章では、具体的な対応式はまだ使わない。
ここまでで構築したのは、あくまで $d$ である。$d$ は次数を一つ上げ、局所的なズレを取り出し、積分法則を局所法則へ変換する。しかし $d$ だけでは、これまで見慣れていたベクトル解析の各演算をまだ再構成できない。$1$-form と $2$-form を対応させるには、空間の長さ・面積・体積をどう測るかという追加規則——計量——が必要になる。
次章では、その「測り方」の規則をホッジ・スター $\ast$ として定義する。第5章で作った $d$ に、第6章で $\ast$ を加え、その二つを両輪として後の章で見慣れたベクトル解析の演算を組み立て直す。ここから第II部の核心——ナブラの解体——へと進む。
【ここまでのチェックポイント — 第5章全体】
- 外微分 $d$ は $k$-form を $(k+1)$-form に写す演算子。$0$-form $\to$ $1$-form（$df$）、$1$-form $\to$ $2$-form、$2$-form $\to$ $3$-form。
- 計算ルールは 4 つ：$df$ の定義、線形性、ライプニッツ則 $d(f\omega) = df\wedge\omega + f\,d\omega$、$d(dx)=d(dy)=d(dz)=0$。
- 幾何学的起源は §5.3 の微小ループ解体：閉ループのズレが面積に比例し、その比例係数が $d\omega$。
- ストークスの定理 $\int_{\partial M} \omega = \int_M d\omega$ は、境界と内部をつなぐ普遍的な橋。
- $d^2 = 0$ は混合偏微分の対称性とウェッジ積の反対称性に由来し、幾何学的には「境界の境界は向き付き和としてゼロになる」ことに対応する。
- $d$ は積分法則を局所微分法則へ変換する演算子——物理学の定式化に不可欠な役割を果たす。
- 次章では、長さ・面積・体積を測る規則を加え、ホッジ・スター $\ast$ を通じて $d$ とベクトル解析の演算との対応を整理する。
付録B：外微分の行列表示
本章本文は基底 $dx, dy, dz$ とウェッジ積の代数で進めた。ここでは第2章以来の本書の流儀——成分をひとつ残らず行列に並べる——によって、外微分を行列表示の言葉で書き直す。
B.1 $0$-form：$df$ の $1 \times 3$ 行ベクトル
$f = f(x,y,z)$ に対し、第1章 §1.2 の定義どおり：
$$df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy + \frac{\partial f}{\partial z}\,dz$$行ベクトル（$1 \times 3$ 行列）として：
$$df = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} & \frac{\partial f}{\partial z} \end{pmatrix}$$である。
B.2 $1$-form：係数のヤコビ行列 $\mathbf{J}$
$\omega = P\,dx + Q\,dy + R\,dz$ に対し、係数 $(P,Q,R)$ の偏微分をすべて並べた $3 \times 3$ 行列を：
$$\mathbf{J} := \begin{pmatrix} \frac{\partial P}{\partial x} & \frac{\partial P}{\partial y} & \frac{\partial P}{\partial z} \\ \frac{\partial Q}{\partial x} & \frac{\partial Q}{\partial y} & \frac{\partial Q}{\partial z} \\ \frac{\partial R}{\partial x} & \frac{\partial R}{\partial y} & \frac{\partial R}{\partial z} \end{pmatrix}$$とする。これは $(P,Q,R)$ を「縦に積んだ」ベクトル場のヤコビ行列にあたる。§5.1 で「単なる偏微分の行列では足りない」と述べたのは、まさにこの $\mathbf{J}$ が反対称でないからだ。
B.3 $d\omega = \mathbf{J}^T - \mathbf{J}$
§5.5 の結果は：
$$d\omega = (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z})\,dy \wedge dz + (\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x})\,dz \wedge dx + (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})\,dx \wedge dy$$第2章 §2.4.4 の流儀に従い、任意の縦ベクトル $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2$ に対して $(d\omega)(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2) = \mathbf{v}_1^T \mathbf{M} \mathbf{v}_2$ となる反対称行列 $\mathbf{M}$ を求めよう。
$\mathbf{J}^T - \mathbf{J}$ の成分を書き下す：
$$\mathbf{J}^T - \mathbf{J} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} & \frac{\partial R}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial z} \\ \frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x} & 0 & \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \\ \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} & \frac{\partial Q}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial y} & 0 \end{pmatrix}$$すなわち、2章で求めた$2$-formの行列表示と照らし合わせて：
$$d\omega = \mathbf{J}^T - \mathbf{J}$$となり、外微分 $d\omega$ の行列表示は、転置から係数のヤコビ行列を引いた反対称行列である。
B.4 $2$-form：$d\eta$ とヤコビ行列のトレース
$\eta = A\,dy \wedge dz + B\,dz \wedge dx + C\,dx \wedge dy$ に対し、係数 $(A,B,C)$ のヤコビ行列を：
$$\mathbf{J}_\eta := \begin{pmatrix} \frac{\partial A}{\partial x} & \frac{\partial A}{\partial y} & \frac{\partial A}{\partial z} \\ \frac{\partial B}{\partial x} & \frac{\partial B}{\partial y} & \frac{\partial B}{\partial z} \\ \frac{\partial C}{\partial x} & \frac{\partial C}{\partial y} & \frac{\partial C}{\partial z} \end{pmatrix}$$とすると、§5.7 の結果 $d\eta = (\frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z})\,dx \wedge dy \wedge dz$ の係数は $\mathbf{J}_\eta$ のトレース（対角成分の和）に一致する：
$$\frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z} = \operatorname{tr}(\mathbf{J}_\eta)$$B.4.1 $d\eta$ の27成分——3枚の行列に展開する
$\eta$ の反対称成分は $\eta_{yz}=A,\; \eta_{zx}=B,\; \eta_{xy}=C$（他は符号反転または $0$）である。$d\eta$ の成分を $(d\eta)_{abc} = \partial_a \eta_{bc}$ と書く。ここで $\partial_x=\frac{\partial}{\partial x}$、$\partial_y=\frac{\partial}{\partial y}$、$\partial_z=\frac{\partial}{\partial z}$ であり、$a,b,c \in \{x,y,z\}$ だから成分は $3^3=27$ 個ある。$a$ を固定した $3 \times 3$ 行列3枚に並べると：
$$ \begin{aligned} d\eta_{x,\cdot,\cdot} &= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\partial C}{\partial x} & -\frac{\partial B}{\partial x} \\ -\frac{\partial C}{\partial x} & 0 & \frac{\partial A}{\partial x} \\ \frac{\partial B}{\partial x} & -\frac{\partial A}{\partial x} & 0 \end{pmatrix}, \\ d\eta_{y,\cdot,\cdot} &= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\partial C}{\partial y} & -\frac{\partial B}{\partial y} \\ -\frac{\partial C}{\partial y} & 0 & \frac{\partial A}{\partial y} \\ \frac{\partial B}{\partial y} & -\frac{\partial A}{\partial y} & 0 \end{pmatrix}, \\ d\eta_{z,\cdot,\cdot} &= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\partial C}{\partial z} & -\frac{\partial B}{\partial z} \\ -\frac{\partial C}{\partial z} & 0 & \frac{\partial A}{\partial z} \\ \frac{\partial B}{\partial z} & -\frac{\partial A}{\partial z} & 0 \end{pmatrix} \end{aligned} $$この $27$ 成分を、対応する基底 $1$-form のウェッジ積（たとえば $a=x,\;b=y,\;c=z$ なら $dx \wedge dy \wedge dz$）と縮約するとき、添字の重複がある項（対角成分や $b=c$ 等）は $dx \wedge dx = 0$ で消え、生き残るのは $a,b,c$ がすべて異なる $6$ 項（$3!$ の順列）だけ。それぞれを符号つきで和をとる。ここで各成分を反対称化して行列に並べて二重にカウントしているため、第2章 §2.4.4 や付録Dと同様に因子 $\frac{1}{2}$ の補正が入り：
$$d\eta = \left( \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z} \right) dx \wedge dy \wedge dz$$すなわち $d\eta$ は $27$ 成分のうち $6$ 項が生き残り、ペアで足し合わさって $\mathbf{J}_\eta$ のトレースへ収束する。
$3$-form は基底が $dx \wedge dy \wedge dz$ の 1 つだけなので、行列としてはスカラー係数に縮退している。
B.5 $d^2 f = 0$ とヘッセ行列
$0$-form $f$ のヘッセ行列：
$$\mathbf{H}_f := \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial y} & \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} \end{pmatrix}$$は $f$ の 2 階偏導関数を並べたものだ。$f$ が $C^2$ 級なら $\mathbf{H}_f$ は対称行列（$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ など）である。
$d(df) = 0$ は §5.5 の $d\omega$ 公式で $(P,Q,R) = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})$ とおいたもの。$\mathbf{J} = \mathbf{H}_f$ であり、$\mathbf{H}_f$ が対称だから $\mathbf{J}^T - \mathbf{J} = 0$、したがって $d(df) = 0$。行列の言葉では「ヘッセ行列の反対称成分がゼロ」と言い換えられる。
付録C：電磁気の積分形と微分形式
この付録では、電磁気の四つの基礎方程式を、積分形から局所形へ移す過程を成分表示で確認する。ここで使うのは、外微分 $d$ と微分形式の次数である。空間の計量は、これらの局所化そのものには現れない。
C.1 物理量の次数
線に沿って測る量を $1$-form、面を貫いて測る量を $2$-form、体積にわたって測る量を $3$-form として置く。成分で書けば：
$$ E = E_x\,dx+E_y\,dy+E_z\,dz, \qquad H = H_x\,dx+H_y\,dy+H_z\,dz $$ $$D = D_x\,dy\wedge dz + D_y\,dz\wedge dx + D_z\,dx\wedge dy$$ $$B = B_x\,dy\wedge dz + B_y\,dz\wedge dx + B_z\,dx\wedge dy$$ $$J = J_x\,dy\wedge dz + J_y\,dz\wedge dx + J_z\,dx\wedge dy$$ $$ \rho = \rho\,dx\wedge dy\wedge dz $$ここでは記号を簡単にするため、電荷密度を表す係数と、それを体積形式に乗せた $3$-form の両方を同じ $\rho$ で書いている。第9章 §9.5・第10章以降では動径座標 $\rho$ との混同を避けるため、電荷密度を $\rho_{\mathrm e}$ と表記する。
$E,H$ は線に沿って測る $1$-form、$D,B,J$ は面を貫いて測る $2$-form、$\rho$ は体積にわたって測る $3$-form である。
C.2 電荷に関するガウスの法則
積分形は：
$$ \int_{\partial V}D=\int_V\rho $$左辺に一般ストークスの定理を使うと：
$$ \int_{\partial V}D=\int_V dD $$したがって任意の領域 $V$ で
$$ \int_V dD=\int_V\rho $$が成り立つなら、局所形は：
$$ dD=\rho $$である。成分展開すると：
$$ dD = \left(\frac{\partial D_x}{\partial x} {}+\frac{\partial D_y}{\partial y} {}+\frac{\partial D_z}{\partial z}\right) dx\wedge dy\wedge dz $$ゆえに：
$$ \frac{\partial D_x}{\partial x} {}+\frac{\partial D_y}{\partial y} {}+\frac{\partial D_z}{\partial z} =\rho $$C.3 磁束の法則
閉曲面を貫く正味の磁束がゼロである、という積分形は：
$$ \int_{\partial V}B=0 $$一般ストークスの定理より：
$$ \int_V dB=0 $$任意の領域 $V$ について成り立つなら、局所形は：
$$ dB=0 $$である。成分展開すると：
$$ dB = \left(\frac{\partial B_x}{\partial x} {}+\frac{\partial B_y}{\partial y} {}+\frac{\partial B_z}{\partial z}\right) dx\wedge dy\wedge dz $$したがって：
$$ \frac{\partial B_x}{\partial x} {}+\frac{\partial B_y}{\partial y} {}+\frac{\partial B_z}{\partial z} =0 $$C.4 ファラデーの法則
積分形は：
$$ \int_{\partial S}E = -\frac{\partial}{\partial t}\int_S B $$左辺に一般ストークスの定理を使うと：
$$ \int_S dE = -\frac{\partial}{\partial t}\int_S B $$任意の曲面 $S$ について成り立つなら、局所形は：
$$ dE=-\frac{\partial B}{\partial t} $$である。成分展開すると：
$$dE = \left(\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z}\right)dy\wedge dz + \left(\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x}\right)dz\wedge dx + \left(\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}\right)dx\wedge dy$$一方、
$$ -\frac{\partial B}{\partial t} = -\frac{\partial B_x}{\partial t}\,dy\wedge dz -\frac{\partial B_y}{\partial t}\,dz\wedge dx -\frac{\partial B_z}{\partial t}\,dx\wedge dy $$だから、各成分は：
$$ \frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z} = -\frac{\partial B_x}{\partial t} $$ $$ \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x} = -\frac{\partial B_y}{\partial t} $$ $$ \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} = -\frac{\partial B_z}{\partial t} $$となる。
C.5 アンペール・マクスウェルの法則
積分形は：
$$ \int_{\partial S}H = \int_SJ+\frac{\partial}{\partial t}\int_S D $$左辺に一般ストークスの定理を使うと：
$$ \int_S dH = \int_SJ+\frac{\partial}{\partial t}\int_S D $$任意の曲面 $S$ について成り立つなら、局所形は：
$$ dH=J+\frac{\partial D}{\partial t} $$である。成分展開すると：
$$dH = \left(\frac{\partial H_z}{\partial y}-\frac{\partial H_y}{\partial z}\right)dy\wedge dz + \left(\frac{\partial H_x}{\partial z}-\frac{\partial H_z}{\partial x}\right)dz\wedge dx + \left(\frac{\partial H_y}{\partial x}-\frac{\partial H_x}{\partial y}\right)dx\wedge dy$$また、
$$J+\frac{\partial D}{\partial t} = \left(J_x+\frac{\partial D_x}{\partial t}\right)dy\wedge dz + \left(J_y+\frac{\partial D_y}{\partial t}\right)dz\wedge dx + \left(J_z+\frac{\partial D_z}{\partial t}\right)dx\wedge dy$$だから、各成分は：
$$ \frac{\partial H_z}{\partial y} - \frac{\partial H_y}{\partial z} = J_x+\frac{\partial D_x}{\partial t} $$ $$ \frac{\partial H_x}{\partial z} - \frac{\partial H_z}{\partial x} = J_y+\frac{\partial D_y}{\partial t} $$ $$ \frac{\partial H_y}{\partial x} - \frac{\partial H_x}{\partial y} = J_z+\frac{\partial D_z}{\partial t} $$となる。
C.6 何に計量が必要か
以上の4つの局所形は、外微分 $d$ と微分形式の次数だけで書ける。この段階では、長さや角度を測る計量は使っていない。
計量が必要になるのは、$E$ と $D$、$B$ と $H$ を関係づけるときである。また、$1$-form と $2$-form を対応させて、通常の三成分の場として同じ種類の対象のように扱うときにも、空間の測り方が必要になる。
次章で導入するホッジ・スターは、その対応を与える道具である。