第9章：実戦 —— 辞書を作り、難問を解く
§9.0 本書の中心的な道具は揃った
第8章 §8.0 で「本章はこの本のハイライトである」と述べ、実際に二つの言語のあいだを翻訳し、積分定理を一本化し、二つの方法論を対比した。本書の中心的な道具立ては、ここまででほぼ揃っている。
しかし、これだけの道具を揃えて、使わずに終わるのはもったいない。本章では、ここまでに構築した辞書を実際の問題に適用し、ベクトル解析の難問を機械的に解いてみせる。理論は第8章までで十分だ——ここから先は演習である。
読者は、以下の計算を眺めるだけでよい。あるいは、自分の手で追ってみてもよい。いずれにせよ、ここで見るのは「公式を暗記しなくても、辞書さえあればすべて導出できる」という事実の実演だ。
注 （ベクトル解析を学んだことがない読者へ）以下の計算のうち、grad, div, rot の導出はどれも数行で済んでいる。$\ast d\ast$ に辞書を代入し、偏微分を展開する——それだけだ。だから簡単そうに見える。しかし、これと同じ結果をベクトル解析の流儀で導出しようとすると、$\nabla$ に $\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\,\cdot\,)$ や $\frac{1}{\rho^2\sin\theta}$ といった因子を手作業で管理しながら、数ページにわたる式変形を強いられる。簡単そうに見えるのは、次数の異なる測定器を $\ast$ が自動的に整理してくれるからだ。§9.4 のラプラシアンはさすがに手強いが、それでもやっていることは辞書を引いて偏微分を展開するだけ——要領は変わらない。この差こそ、本書が第1章から積み上げてきた「測定器」の枠組みの真価である。
§9.1 辞書をその場で作る——機械的手順
直交曲線座標で $\mathrm{grad}, \mathrm{div}, \mathrm{rot}$ の公式を導出する手順は、以下の3ステップに集約される。
- ヤコビ行列 $J$ を書く。座標変換 $x = x(q_1,q_2,q_3)$, $y = y(q_1,q_2,q_3)$, $z = z(q_1,q_2,q_3)$ から偏微分を並べる。$J$ の各列はパラメータ空間の各軸方向の一歩が実空間でどう動くかを表す。
- 計量 $\mathbf{g} = J^T J$ を計算する。これは第6章 §6.1.3 以来の手順だ。$\mathbf{g}$ の対角成分が各軸方向の目盛りの二乗、非対角成分が軸どうしの直交度を表す。
- $\mathbf{g}$ から $\ast$ の辞書を導き、$d$ と組み合わせる。$\mathrm{grad} = d$、$\mathrm{rot}=\ast d$、$\mathrm{div}=\ast d\ast$ の各公式に、その座標系での $\ast$ の辞書を代入すれば、求める公式が機械的に得られる。
ただし、通常のベクトル解析の $\mathrm{grad}$ や $\mathrm{rot}$ は矢印としてのベクトル場を返す。一方、本書の $\mathrm{grad}=d$、$\mathrm{rot}=\ast d$、$\mathrm{div}=\ast d\ast$ は、まず測定器側の式として読む。微分形式側で得られた $1$-form を縦ベクトルとして読むには、まず計量 $\mathbf{g}$ を使って $\mathbf{g}^{-1}(\cdot)^T$ の形に戻す。これは座標に対応する縦成分である。ベクトル解析で使う正規直交成分として読むには、さらに各方向のスケール因子を考慮する。
また、曲線座標では、ベクトル解析で使う正規直交成分と、座標に対応する $1$-form を基準にした係数は一般に一致しない。計算は $1$-form 側で行うため、まずベクトル場を対応する $1$-form に直す。そのとき、$d\theta$ や $d\phi$ の係数にはスケール因子が入る。
注（ベクトル成分と $1$-form 係数）
曲線座標では、座標に対応する $1$-form と、実際の長さを1単位として測る $1$-form を区別する必要がある。たとえば極座標では、角度の目盛り $d\theta$ そのものと、長さ1の目盛り $r\,d\theta$ は違う。ホッジ・スターの辞書は、このスケール因子の情報をすべて引き受けている。これにより、我々は「歪んだ座標系」の上で「真っ直ぐな計算」を行うことができるのである。
以下、この手順を円柱座標と球座標で実演する。まず $1$-form や $2$-form として計算し、最後に正規直交ベクトル成分へ戻す流れを意識してほしい。
§9.2 円柱座標 $(r,\theta,z)$
9.2.1 辞書の導出
円柱座標への変換は $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $z = z$。
$$J = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{g} = J^T J = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$注（定義域と特異点）
以下では $r > 0$ の座標パッチで計算する。$r = 0$ では $\theta$ が定まらず、円柱座標そのものが特異になる。また $\theta$ は $2\pi$ 周期を持つ角度座標なので、厳密には局所的な座標（例えば $0 < \theta < 2\pi$）として扱う。本節の公式は、この特異軸を含まない領域で用いることを前提としている。
$\mathbf{g}$ から $\ast$ の辞書を導く。第6章で見たデカルト座標の $\ast$ 辞書と同じ原理で、$\mathbf{g}$ の対角成分の平方根が $\ast$ の係数に現れる。
$$\begin{aligned} \ast(dr) &= r\,d\theta \wedge dz \\ \ast(d\theta) &= \frac{1}{r}\,dz \wedge dr \\ \ast(dz) &= r\,dr \wedge d\theta \end{aligned}$$また $\ast(1) = r\,dr\wedge d\theta\wedge dz$, $\ast(dr\wedge d\theta\wedge dz) = 1/r$。
注（円柱座標で区別すべき4つのもの）
ベクトル場を正しく微分形式として扱うために、以下の 4 つのレイヤーを区別しよう。
名称 円柱座標での具体例 座標に対応する $1$-form $dr, d\theta, dz$ 長さ1の目盛りに対応する $1$-form $dr, r\,d\theta, dz$ ベクトル解析で使う成分 $F_r, F_\theta, F_z$ $1$-form としての係数 $F_r, rF_\theta, F_z$ ベクトル解析で使う単位ベクトル方向の成分を $F_r,F_\theta,F_z$ と書くなら、対応する $1$-form は $F_r dr + F_\theta (r d\theta) + F_z dz$、すなわち $1$-form としての係数は $F_r,rF_\theta,F_z$ となる。本章の $F_\theta$ はつねに「ベクトル解析で使う成分」を指す。
9.2.2 勾配
$\mathrm{grad}\,f = df$ は $\ast$ を使わない。単に偏微分係数を基底 $1$-form に載せるだけだ。
$$df = \frac{\partial f}{\partial r}\,dr + \frac{\partial f}{\partial \theta}\,d\theta + \frac{\partial f}{\partial z}\,dz$$ベクトル解析の表記（縦ベクトル）では、
$$ \nabla f = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial r}\\[0.4em] \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\\[0.4em] \frac{\partial f}{\partial z} \end{pmatrix} $$$\theta$ 成分に $\frac{1}{r}$ がつくのは、$\nabla f$ が正規直交基底に対する成分だからだ。$df$ の $d\theta$ の係数 $\frac{\partial f}{\partial\theta}$ は「角度あたりの変化率」だが、$\nabla f$ の $\mathbf{e}_\theta$ 成分は「長さあたりの変化率」であり、$d\theta$ が弧長 $r\,d\theta$ に対応するための換算 $\frac{1}{r}$ が必要になる。
9.2.3 発散
正規直交成分が $F_r,F_\theta,F_z$ であるベクトル場 $\mathbf{F}$ に対応する $1$-form は、以下に述べる「式に現れるスケール因子によって $1$-form としての係数を明示する」という約束に基づき、$\omega = F_r\,dr + rF_\theta\,d\theta + F_z\,dz$ である。
$$\begin{aligned} \ast\omega &= F_r(r\,d\theta\wedge dz) + rF_\theta\!\left(\frac{1}{r}\,dz\wedge dr\right) + F_z(r\,dr\wedge d\theta) \\ &= rF_r\,d\theta\wedge dz + F_\theta\,dz\wedge dr + rF_z\,dr\wedge d\theta \\[0.3em] d\ast\omega &= \left(\frac{\partial}{\partial r}(rF_r) + \frac{\partial F_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial}{\partial z}(rF_z)\right) dr\wedge d\theta\wedge dz \\[0.3em] \ast d\ast\omega &= \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rF_r) + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z} \end{aligned}$$注 （$\tilde{\omega}$ のチルダについて）
第8章 §8.6.2 では、正規直交成分 $F_\theta$ と $1$-form としての係数 $rF_\theta$ を区別するために $\tilde{\omega}$ という記法を使った。本章では記号を軽くするため、以下ではチルダを省いて $\omega$ と書く。ただし、$F_r,F_\theta,F_z$ は常に正規直交ベクトル成分を表すものとする。対応する $1$-form は、その都度スケール因子を含めて明示する。円柱座標では
$$ \omega = F_r\,dr + rF_\theta\,d\theta + F_z\,dz $$であり、球座標では
$$ \omega = F_\rho\,d\rho + \rho F_\theta\,d\theta + \rho\sin\theta\,F_\phi\,d\phi $$である。したがって、読者が文脈から推測するのではなく、式に現れるスケール因子によって $1$-form としての係数を明示する、という約束で読む。
これが円柱座標での発散の公式である。
9.2.4 回転
回転は $\mathrm{rot}\,\mathbf{F} \leftrightarrow \ast d\omega$。
$$d\omega = \left(\frac{\partial}{\partial r}(rF_\theta) - \frac{\partial F_r}{\partial\theta}\right) dr\wedge d\theta + \left(\frac{\partial F_z}{\partial\theta} - \frac{\partial}{\partial z}(rF_\theta)\right) d\theta\wedge dz + \left(\frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r}\right) dz\wedge dr$$ $$\ast d\omega = \frac{1}{r}\!\left(\frac{\partial F_z}{\partial\theta} - \frac{\partial}{\partial z}(rF_\theta)\right)\! dr + r\!\left(\frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r}\right)\! d\theta + \frac{1}{r}\!\left(\frac{\partial}{\partial r}(rF_\theta) - \frac{\partial F_r}{\partial\theta}\right)\! dz$$$1$-form の $dr, d\theta, dz$ の係数を読み取り、正規直交成分に焼き直すと $d\theta$ 係数はさらに $\frac{1}{r}$ される。最終的に、
$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{pmatrix} \frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \theta} - \frac{\partial F_\theta}{\partial z} \\[0.3em] \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r} \\[0.3em] \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r F_\theta) - \frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \theta} \end{pmatrix}$$$r$ が $\frac{\partial}{\partial r}$ の内側と外側に現れる構造は、前章で扇形の面積要素を数えたときの $\frac{1}{r}$ とまったく同じ起源を持つ。
§9.3 球座標 $(\rho,\theta,\phi)$
9.3.1 辞書の導出
球座標への変換は $x = \rho\sin\theta\cos\phi$, $y = \rho\sin\theta\sin\phi$, $z = \rho\cos\theta$（$\theta$ は $z$ 軸からの角度、$\phi$ は $xy$ 平面内の方位角）。
$$J = \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi & \rho\cos\theta\cos\phi & -\rho\sin\theta\sin\phi \\ \sin\theta\sin\phi & \rho\cos\theta\sin\phi & \rho\sin\theta\cos\phi \\ \cos\theta & -\rho\sin\theta & 0 \end{pmatrix},\qquad \mathbf{g} = J^T J = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \rho^2 & 0 \\ 0 & 0 & \rho^2\sin^2\theta \end{pmatrix}$$$\ast$ の辞書は対角成分 $\sqrt{1}, \sqrt{\rho^2}, \sqrt{\rho^2\sin^2\theta}$ すなわち $1, \rho, \rho\sin\theta$ から決まる。
$$\begin{aligned} \ast(d\rho) &= \rho^2\sin\theta\; d\theta \wedge d\phi \\ \ast(d\theta) &= \sin\theta\; d\phi \wedge d\rho \\ \ast(d\phi) &= \frac{1}{\sin\theta}\; d\rho \wedge d\theta \end{aligned}$$注（球座標で区別すべき4つのもの）
名称 球座標での具体例 座標に対応する $1$-form $d\rho, d\theta, d\phi$ 長さ1の目盛りに対応する $1$-form $d\rho, \rho\,d\theta, \rho\sin\theta\,d\phi$ ベクトル解析で使う成分 $F_\rho, F_\theta, F_\phi$ $1$-form としての係数 $F_\rho, \rho F_\theta, \rho\sin\theta F_\phi$ 正規直交成分 $F_\rho,F_\theta,F_\phi$ に対する $1$-form は $\omega = F_\rho d\rho + \rho F_\theta d\theta + \rho\sin\theta F_\phi d\phi$ となる。
ここでは $\rho>0$ かつ $0<\theta<\pi$ の座標パッチで計算している。原点 $\rho=0$ と極軸 $\sin\theta=0$ では球座標そのものが特異になり、$1/\rho$ や $1/\sin\theta$ を含む公式をそのまま使うことはできない。特異点をまたぐ問題では、別の座標パッチを使うか、特異点を除いた領域で計算してから境界条件として扱う。
9.3.2 発散
正規直交成分が $F_\rho,F_\theta,F_\phi$ であるベクトル場 $\mathbf{F}$ の $1$-form への変換では、$d\rho$ の係数は $F_\rho$（$\rho$ はすでに長さ）、$d\theta$ の係数は $\rho F_\theta$、$d\phi$ の係数は $\rho\sin\theta\,F_\phi$ となる（それぞれ弧長 $\rho\,d\theta$, $\rho\sin\theta\,d\phi$ に対応）。
$$\omega = F_\rho\,d\rho + \rho F_\theta\,d\theta + \rho\sin\theta\,F_\phi\,d\phi$$$\ast d\ast\omega$ を計算する。
$$\ast\omega = \rho^2\sin\theta\,F_\rho\,d\theta\wedge d\phi + \rho\sin\theta\,F_\theta\,d\phi\wedge d\rho + \rho\,F_\phi\,d\rho\wedge d\theta$$ $$d\ast\omega = \left(\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho^2\sin\theta\,F_\rho) + \frac{\partial}{\partial\theta}(\rho\sin\theta\,F_\theta) + \frac{\partial}{\partial\phi}(\rho\,F_\phi)\right) d\rho\wedge d\theta\wedge d\phi$$$\ast(d\rho\wedge d\theta\wedge d\phi) = 1/(\rho^2\sin\theta)$ より、
$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho^2 F_\rho) + \frac{1}{\rho\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\,F_\theta) + \frac{1}{\rho\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial\phi}$$9.3.3 回転
同様に $\ast d\omega$ から、
$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\rho\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\,F_\phi) - \frac{1}{\rho\sin\theta}\frac{\partial F_\theta}{\partial\phi} \\[0.3em] \frac{1}{\rho\sin\theta}\frac{\partial F_\rho}{\partial\phi} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho F_\phi) \\[0.3em] \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho F_\theta) - \frac{1}{\rho}\frac{\partial F_\rho}{\partial\theta} \end{pmatrix}$$§9.4 微積分の難問——球座標でのベクトルラプラシアン
ベクトルラプラシアン $\nabla^2\mathbf{F} = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{F}) - \nabla\times(\nabla\times\mathbf{F})$ は、ベクトル解析の公式集で最も長い式の一つとして知られる。ここでは全成分が辞書から機械的に出ることを示す。
方針は第8章の辞書をそのまま使うだけだ。
- $\nabla(\nabla\cdot\mathbf{F}) \leftrightarrow d(\ast d\ast\omega)$
- $\nabla\times(\nabla\times\mathbf{F}) \leftrightarrow \ast d(\ast d\omega)$
したがって、結果を $1$-form として見るなら、
$$\nabla^2\mathbf{F} \leftrightarrow d\ast d\ast\omega - \ast d\ast d\omega$$球座標で $\omega = F_\rho\,d\rho + \rho F_\theta\,d\theta + \rho\sin\theta\,F_\phi\,d\phi$ から出発し、$d\ast d\ast\omega$ と $\ast d\ast d\omega$ を個別に計算して差をとる。
9.4.1 第一項——発散の勾配
§9.3.2 より、発散は
$$\ast d\ast\omega = \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho^2 F_\rho) + \frac{1}{\rho\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\,F_\theta) + \frac{1}{\rho\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial\phi}$$これを $S$ とおく。$S$ はスカラー場だから、その勾配は $dS = \frac{\partial S}{\partial\rho}\,d\rho + \frac{\partial S}{\partial\theta}\,d\theta + \frac{\partial S}{\partial\phi}\,d\phi$ である。正規直交成分に焼き直すと、
$$\nabla(\nabla\cdot\mathbf{F}) = \begin{pmatrix} \frac{\partial S}{\partial\rho} \\[0.5em] \frac{1}{\rho}\frac{\partial S}{\partial\theta} \\[0.5em] \frac{1}{\rho\sin\theta}\frac{\partial S}{\partial\phi} \end{pmatrix}$$9.4.2 第二項——回転の回転
§9.3.3 の回転の結果を $C_\rho, C_\theta, C_\phi$ とおく。
$$\begin{aligned} C_\rho &= \frac{1}{\rho\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\,F_\phi) - \frac{1}{\rho\sin\theta}\frac{\partial F_\theta}{\partial\phi} \\[0.3em] C_\theta &= \frac{1}{\rho\sin\theta}\frac{\partial F_\rho}{\partial\phi} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho F_\phi) \\[0.3em] C_\phi &= \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho F_\theta) - \frac{1}{\rho}\frac{\partial F_\rho}{\partial\theta} \end{aligned}$$$\mathbf{C} = \nabla\times\mathbf{F}$ に再度 $\nabla\times$ を作用させるには、$C_\rho, C_\theta, C_\phi$ を §9.3.3 の公式の $F_\rho, F_\theta, F_\phi$ の位置に代入すればよい。
$$\begin{aligned} (\nabla\times(\nabla\times\mathbf{F}))_\rho &= \frac{1}{\rho\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\,C_\phi) - \frac{1}{\rho\sin\theta}\frac{\partial C_\theta}{\partial\phi} \\[0.5em] (\nabla\times(\nabla\times\mathbf{F}))_\theta &= \frac{1}{\rho\sin\theta}\frac{\partial C_\rho}{\partial\phi} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho C_\phi) \\[0.5em] (\nabla\times(\nabla\times\mathbf{F}))_\phi &= \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho C_\theta) - \frac{1}{\rho}\frac{\partial C_\rho}{\partial\theta} \end{aligned}$$9.4.3 差をとる——ベクトルラプラシアン
$\nabla^2\mathbf{F} = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{F}) - \nabla\times(\nabla\times\mathbf{F})$ だから、各成分は第一項から第二項を引けばよい。$\rho$ 成分を展開する。
$$(\nabla^2\mathbf{F})_\rho = \frac{\partial S}{\partial\rho} - \frac{1}{\rho\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\,C_\phi) + \frac{1}{\rho\sin\theta}\frac{\partial C_\theta}{\partial\phi}$$$S$ と $C_\theta, C_\phi$ の表式を代入し、偏微分を展開して整理すると以下を得る。展開は長いので、ここでは代入後に同類項を整理した結果だけを示す。
$$(\nabla^2\mathbf{F})_\rho = \nabla^2 F_\rho - \frac{2F_\rho}{\rho^2} - \frac{2}{\rho^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\,F_\theta) - \frac{2}{\rho^2\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial\phi}$$ここで $\nabla^2 F_\rho = \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial}{\partial\rho}\!\left(\rho^2\frac{\partial F_\rho}{\partial\rho}\right) + \frac{1}{\rho^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\frac{\partial F_\rho}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{\rho^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 F_\rho}{\partial\phi^2}$ である。
同様に $\theta$ 成分と $\phi$ 成分も、
$$(\nabla^2\mathbf{F})_\theta = \nabla^2 F_\theta - \frac{F_\theta}{\rho^2\sin^2\theta} + \frac{2}{\rho^2}\frac{\partial F_\rho}{\partial\theta} - \frac{2\cos\theta}{\rho^2\sin^2\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial\phi}$$ $$(\nabla^2\mathbf{F})_\phi = \nabla^2 F_\phi - \frac{F_\phi}{\rho^2\sin^2\theta} + \frac{2}{\rho^2\sin\theta}\frac{\partial F_\rho}{\partial\phi} + \frac{2\cos\theta}{\rho^2\sin^2\theta}\frac{\partial F_\theta}{\partial\phi}$$以上で全成分の導出が完了した。ベクトル解析の流儀で一から導出すれば1ページを優に超える計算量だが、辞書を経由すれば各ステップは偏微分と係数の掛け算の繰り返しに過ぎない。個別公式を丸暗記する必要はない——$d\ast d\ast\omega - \ast d\ast d\omega$ の一本と、§9.3 の $\ast$ 辞書さえあれば、その場で再構成できる。
§9.5 電磁気学の難問——点電荷の電場と発散
最後に、電磁気学からの例題を一つ。第10章への橋渡しでもある。
注 （電磁気学が未習の読者へ）以下に出てくる「電場」や「点電荷」といった用語は、理解できなくても構わない。単に「$\frac{1}{\rho^2}$ に比例するベクトル場」の計算だと思って眺めてほしい。第10章でも、電磁気学そのものを深く掘り下げるわけではない。ただ、マクスウェル方程式を微分形式で書くと恐ろしく簡潔になること、そして「みんなここで美しいと言って終わるが、行列まで落とすとどうなるか」を実際に全部書き下す——それだけだ。
点電荷 $q$ が原点にあるとき、電場は $\mathbf{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\hat{\boldsymbol{\rho}}}{\rho^2}$（$\hat{\boldsymbol{\rho}}$ は動径方向の単位ベクトル）。ベクトル解析では $\nabla\cdot\mathbf{E} = 0$（原点以外）を示すために球座標の発散公式に代入するが、電場に対応する $1$-form を直接扱う方が見通しがよい。
$\mathbf{E}$ の $\rho$ 成分は $E_\rho = \frac{k}{\rho^2}$（$k = q/4\pi\varepsilon_0$）、$\theta,\phi$ 成分はゼロ。対応する $1$-form は
$$\omega = \frac{k}{\rho^2}\,d\rho$$$d\ast\omega$ を計算する。球座標では $\ast(d\rho) = \rho^2\sin\theta\,d\theta\wedge d\phi$（§9.3.1）だから、
$$\ast\omega = \frac{k}{\rho^2} \cdot \rho^2\sin\theta\,d\theta\wedge d\phi = k\sin\theta\,d\theta\wedge d\phi$$ $$d\ast\omega = \frac{\partial}{\partial\rho}(k\sin\theta)\,d\rho\wedge d\theta\wedge d\phi + \frac{\partial}{\partial\theta}(k\sin\theta)\,d\theta\wedge d\theta\wedge d\phi + \cdots$$第二項は $d\theta\wedge d\theta = 0$ で消える。第三項も同様。第一項は $\frac{\partial}{\partial\rho}(k\sin\theta) = 0$（$\rho$ に依存しない）。よって
$$d\ast\omega = 0 \quad (\rho \neq 0)$$$\ast d\ast\omega = \nabla\cdot\mathbf{E} = 0$ である。$\rho^2$ が $\ast(d\rho)$ の $\rho^2$ と打ち消し合い、残った $\sin\theta\,d\theta\wedge d\phi$ の外微分がゼロ——これだけの計算で、原点以外での発散ゼロが示された。
注 （原点では？）$\rho = 0$ では $\omega$ が定義できない。原点を含む全空間で扱うには、通常の関数としての発散ではなく、超関数（ディストリビューション；$\delta$ 関数）や積分形式で点電荷を表す必要がある。本書ではそこには立ち入らず、原点を除いた領域での計算に限ることにする。電荷密度を扱う第10章では、動径座標 $\rho$ と混同しないように、電荷密度を $\rho_{\mathrm e}$ と書いて右辺に $\rho_{\mathrm e}/\varepsilon_0$ が現れる形を扱う。
§9.6 辞書は終わり、旅は続く
本章では、第8章までに構築した辞書を使って、ベクトル解析の公式を機械的に導出し、微積分と電磁気学の難問を解いた。重要なのは、どの計算も「公式を思い出す」ではなく「辞書を引いて手順をなぞる」だけで済んだことだ。
もはや、円柱座標や球座標の発散・回転の公式を暗記する必要はない。$J \to g = J^T J \to \ast$ 辞書 $\to$ $d$ と $\ast$ の組み合わせ——この一本道を覚えておけば、直交曲線座標の公式をその場で再構成できる。非直交座標でも原理は同じだが、$\ast$ の辞書には非対角計量に由来する混合項が現れるため、本章のような単純なスケール因子だけの表にはならないことに注意されたい。
第10章では、この道具をマクスウェル方程式に適用する。 ベクトル解析では4本の基礎方程式が、微分形式では2本に集約される。多くの教科書はここで「なんと美しい」と止まってしまうが、我々はさらに進む。マクスウェル方程式を微分形式で書き、その全成分を実際に展開するとどうなるか——それを実際にやってみせる。本章の計算練習を経ていれば、その翻訳はもはや難しくないはずだ。
【ここまでのチェックポイント — 第9章全体】
- 直交曲線座標での公式導出は $J \to g = J^T J \to \ast$ 辞書 $\to$ $d$ と $\ast$ の組み合わせ、という手順で進む。
- 円柱座標・球座標での $\ast$ 辞書、発散・回転の公式を導出した。
- ベクトルラプラシアン $\nabla^2\mathbf{F}$ のような難問も、辞書と恒等式の組み合わせで機械的に解ける。
- 点電荷の電場の発散ゼロは、$\ast(d\rho)$ と $E_\rho$ の $\rho^2$ が打ち消し合うだけの単純な計算で示せる。
- 公式は丸暗記しなくてもよい。辞書さえあれば、そしてその辞書すらも、すべてその場で再構成できる。