第7章：ベクトル解析 —— ナブラの登場

§7.0 ナブラの登場

　本書のタイトルは「ナブラ解体新書」である。しかしここに至るまで、ナブラ $\nabla$ を正面から定義したことは一度もない、という建前だ。第6章では、$d$ と $\ast$ を組み合わせることで grad, rot, div の型だけを先に見た。本章では、同じ対象を標準的なベクトル解析の記法で書き直す。

代わりに何をしてきたか。$dx$ は横ベクトル、$2$-form は反対称行列、$d$ は次数を上げる演算——いわば「裏方」の道具をひたすら積み上げてきた。読者の中には「いつになったら $\nabla$ が出てくるんだ」と思っていた人もいるだろう。

筆者もずっとタイトル詐欺が気になっている。

本章では、ついに $\nabla$ を定義する。そして標準的なベクトル解析——勾配・発散・回転・ラプラシアン・諸恒等式——を、天下りのまま一気に展開する。本文の計算では、$d$ も $\ast$ も $\wedge$ もいったん脇に置く。これは多くの読者が大学1-2年で（おそらく挫折しながら）学んだ、あのベクトル解析そのものである。

注（なぜ今なのか）第6章で我々は、$d$ と $\ast$ を使って grad, rot, div の型を先に見た。本章では、同じ対象を標準的なベクトル解析の記法で、あえて公式だらけに展開する。本章を読み終えたとき「公式が多すぎる」と感じたら、それでよい。その違和感が、次章で二つの記法を対応させるための推進力になる。

本章で使う道具は、ここまでに揃えたものだけである——縦ベクトル、横ベクトル、行列、内積、ヤコビ行列、そして偏微分。

§7.1 ドット積とクロス積

7.1.1 ドット積

二つの縦ベクトル

$$ \mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_x\\ a_y\\ a_z \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_x\\ b_y\\ b_z \end{pmatrix} $$

のドット積（内積）を次で定義する。

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$$

§6.1 で見たように、これは実空間 $(x,y,z)$ では$\mathbf{a}^T \mathbf{b}$ と書ける。ただし、これは第1章以来の「横ベクトルが縦ベクトルを食べる評価」と同じ行列積で表されるだけで、概念としては内積である。

7.1.2 クロス積

二つの縦ベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ のクロス積（外積）を次で定義する。

$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_y b_z - a_z b_y \\ a_z b_x - a_x b_z \\ a_x b_y - a_y b_x \end{pmatrix}$$

この結果は再び縦ベクトルである。クロス積の成分の並びには規則性があり、次の反対称行列を使うと簡潔に書ける。

$$\mathbf{a} \times = \begin{pmatrix} 0 & -a_z & a_y \\ a_z & 0 & -a_x \\ -a_y & a_x & 0 \end{pmatrix}$$

この $3\times 3$ 行列をベクトル $\mathbf{b}$ に左から掛ければ、

$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (\mathbf{a} \times)\,\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 & -a_z & a_y \\ a_z & 0 & -a_x \\ -a_y & a_x & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_y b_z - a_z b_y \\ a_z b_x - a_x b_z \\ a_x b_y - a_y b_x \end{pmatrix}$$

となる。この $(\mathbf{a} \times)$ を $\mathbf{a}$ の外積行列と呼ぶ。第2章で $2$-form の行列表現として現れ、第6章の付録Dではホッジ・スターの配列表示として再登場した行列と、まったく同じ形である。本章ではこれを純粋に「ベクトルにベクトルを掛けてベクトルを得る演算」として使う。

クロス積には次の基本的な性質がある。

反可換性：$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -\,\mathbf{b} \times \mathbf{a}$
自分自身とのクロス積はゼロ：$\mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0}$
直交性：$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{a} = 0$、$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{b} = 0$

性質3は、クロス積が $\mathbf{a}$ にも $\mathbf{b}$ にも直交するベクトルを生み出すことを意味する。これがいわゆる「右手の法則」の正体だ。

【ここまでのチェックポイント — §7.1】

- ドット積 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$。実空間では、縦ベクトル $\mathbf{a}$ を転置して $\mathbf{a}^T \mathbf{b}$ と書ける。

- クロス積 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ は外積行列 $(\mathbf{a}\times)$ を使って $(\mathbf{a}\times)\,\mathbf{b}$ と書ける。

- クロス積は反可換、自分自身とはゼロ、結果は二つのベクトルに直交する。

§7.2 $\nabla$ と勾配

7.2.1 $\nabla$ の定義

ナブラ $\nabla$ を、偏微分演算子を縦に並べた形式的なベクトルとして定義する。

$$\nabla = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\[0.5em] \frac{\partial}{\partial y} \\[0.5em] \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix}$$

$\nabla$ は「ベクトル」だが、その成分は数ではなく微分演算子である。$\nabla$ は通常、単独のベクトル量として値を持つものではなく、何かに作用して初めて具体的な場を返す。

7.2.2 勾配

スカラー場 $f(x,y,z)$ に $\nabla$ を作用させたものを勾配と呼び、$\mathrm{grad}\,f$ または $\nabla f$ と書く。

$$\mathrm{grad}\,f = \nabla f = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\[0.5em] \frac{\partial f}{\partial y} \\[0.5em] \frac{\partial f}{\partial z} \end{pmatrix}$$

勾配の各成分は、$f$ の各座標方向の変化率である。幾何学的には、$\nabla f$ は $f$ が最も急に増加する方向を指すベクトル場になる。

注（勾配は横ベクトルか縦ベクトルか）§6.5 では $\mathrm{grad}\,f = df$ と書き、$df$ は係数の横ベクトルだった。本章では $\nabla f$ を縦ベクトルとして扱う。第6章で導入したユークリッド計量を用いて、$1$-form $df$ を対応する縦ベクトルとして読むと $\nabla f$ が得られる。§6.5 では「微分そのもの（form）が空間の性質を測る」立場に立ち、本章では標準的なベクトル解析に合わせて「各点に矢印（ベクトル）が立っている」立場に立っている。出発点の絵は異なるが、線積分で集計すれば同じスカラー量を与える。この一致は偶然ではない。

例：$f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$ の勾配。

$$\nabla f = \begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ 2z \end{pmatrix}$$

このベクトル場は原点から放射状に外向きで、原点から離れるほど大きくなる。

§7.3 発散

ベクトル場

$$ \mathbf{F}(x,y,z) = \begin{pmatrix} F_x\\ F_y\\ F_z \end{pmatrix} $$

に対して、$\nabla$ とのドット積をとったものを発散と呼ぶ。

$$\mathrm{div}\,\mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$$

形式的には「$\nabla$ と $\mathbf{F}$ のドット積」だが、$\nabla$ の各成分が微分演算子であるため、結果はスカラー場になる。

発散は行列の言葉でも書ける。$\mathbf{F}$ のヤコビ行列 $\mathbf{J}_\mathbf{F}$ を考える。

$$\mathbf{J}_\mathbf{F} = \begin{pmatrix} \frac{\partial F_x}{\partial x} & \frac{\partial F_x}{\partial y} & \frac{\partial F_x}{\partial z} \\[0.3em] \frac{\partial F_y}{\partial x} & \frac{\partial F_y}{\partial y} & \frac{\partial F_y}{\partial z} \\[0.3em] \frac{\partial F_z}{\partial x} & \frac{\partial F_z}{\partial y} & \frac{\partial F_z}{\partial z} \end{pmatrix}$$

この行列のトレース（対角成分の和）が発散に一致する。

$$\mathrm{div}\,\mathbf{F} = \operatorname{tr}(\mathbf{J}_\mathbf{F}) = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$$

物理的には、$\mathrm{div}\,\mathbf{F}$ はその点での「湧き出し」の強さを表す。正なら湧き出し、負なら吸い込み、ゼロならその点では湧き出しも吸い込みもない。

例：

$$ \mathbf{F} = \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} $$

の発散。

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3$$

例：

$$ \mathbf{F} = \begin{pmatrix} -y\\ x\\ 0 \end{pmatrix} $$

の発散。

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial (-y)}{\partial x} + \frac{\partial x}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z} = 0 + 0 + 0 = 0$$

この場は回転しているが、湧き出してはいない。

§7.4 回転

ベクトル場 $\mathbf{F}$ に対して、$\nabla$ とのクロス積をとったものを回転（ローテーション）と呼ぶ。

$$\mathrm{rot}\,\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F} = \begin{pmatrix} \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \\[0.5em] \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \\[0.5em] \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \end{pmatrix}$$

外積行列を使えば次のようにも書ける。

$$\mathrm{rot}\,\mathbf{F} = (\nabla \times)\,\mathbf{F} = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\partial}{\partial z} & \frac{\partial}{\partial y} \\[0.3em] \frac{\partial}{\partial z} & 0 & -\frac{\partial}{\partial x} \\[0.3em] -\frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial x} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \end{pmatrix}$$

物理的には、$\mathrm{rot}\,\mathbf{F}$ はその点での「渦」の強さと向きを表す。渦の軸方向を向き、大きさが渦の強さに対応する。

例：

$$ \mathbf{F} = \begin{pmatrix} -y\\ x\\ 0 \end{pmatrix} $$

の回転。

$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{pmatrix} \frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{\partial x}{\partial z} \\[0.3em] \frac{\partial (-y)}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x} \\[0.3em] \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial (-y)}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 - 0 \\ 0 - 0 \\ 1 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$$

この場は $z$ 軸まわりに一様に回転しており、渦の強さは $2$ である。

例：

$$ \mathbf{F} = \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} $$

の回転。

$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{pmatrix} \frac{\partial z}{\partial y} - \frac{\partial y}{\partial z} \\[0.3em] \frac{\partial x}{\partial z} - \frac{\partial z}{\partial x} \\[0.3em] \frac{\partial y}{\partial x} - \frac{\partial x}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

放射状の場には渦がない——直感とも一致する。

【ここまでのチェックポイント — §7.2–§7.4】

- $\nabla$ は $\partial_x,\partial_y,\partial_z$ を縦に並べた形式的ベクトル。

- $\mathrm{grad}\,f = \nabla f$（勾配）：スカラー場 → ベクトル場。

- $\mathrm{div}\,\mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F}$（発散）：ベクトル場 → スカラー場。ヤコビ行列のトレースに等しい。

- $\mathrm{rot}\,\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F}$（回転）：ベクトル場 → ベクトル場。外積行列で書ける。

§7.5 ラプラシアン

勾配（スカラー→ベクトル）と発散（ベクトル→スカラー）を連続して作用させると、スカラー場からスカラー場への演算が得られる。これをラプラシアンと呼ぶ。

$$\nabla^2 f = \mathrm{div}(\mathrm{grad}\,f) = \nabla \cdot (\nabla f) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$$

記号 $\nabla^2$ は $\nabla \cdot \nabla$ の略記であり、$\Delta f$ と書く流儀もある。

例：$f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$ のラプラシアン。

$$\nabla^2 f = \frac{\partial^2}{\partial x^2}(x^2) + \frac{\partial^2}{\partial y^2}(y^2) + \frac{\partial^2}{\partial z^2}(z^2) = 2 + 2 + 2 = 6$$

ベクトル場 $\mathbf{F}$ に対しても、成分ごとにラプラシアンを作用させたものをベクトルラプラシアンと呼ぶ。

$$\nabla^2 \mathbf{F} = \begin{pmatrix} \nabla^2 F_x \\ \nabla^2 F_y \\ \nabla^2 F_z \end{pmatrix}$$

ラプラシアンは物理の至るところに現れる。熱伝導方程式、波動方程式、ポアソン方程式——いずれも $\nabla^2$ を中心に据えた方程式である。

§7.6 恒等式

ここまでに定義した三つの演算の間には、二つの重要な恒等式が成り立つ。どちらも「二度作用させるとゼロになる」という形をしている。

7.6.1 $\mathrm{rot}(\mathrm{grad}\,f) = \mathbf{0}$

勾配でベクトル場を得て、その回転をとると必ずゼロベクトルになる。

$$\nabla \times (\nabla f) = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial z} - \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial y} \\[0.5em] \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial z} \\[0.5em] \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

各成分で、偏微分の順序交換 $\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial z} = \frac{\partial^2 f}{\partial z\partial y}$ により打ち消し合う。これは $f$ がなめらか（二階連続微分可能）であれば常に成り立つ。

物理的意味：「勾配場には渦がない」。保存的な重力場や静電場がこれに当たる。

7.6.2 $\mathrm{div}(\mathrm{rot}\,\mathbf{F}) = 0$

回転でベクトル場を得て、その発散をとると必ずゼロになる。

$$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right)$$

展開すると、$\frac{\partial^2 F_z}{\partial x\partial y}$ と $-\frac{\partial^2 F_z}{\partial y\partial x}$ のように、やはり偏微分の順序交換により項がペアで打ち消し合い、総和は $0$ になる。

物理的意味：「渦場に湧き出しはない」。磁場がこれに当たる（モノポールが存在しないことの数学的表現）。

【ここまでのチェックポイント — §7.5–§7.6】

- $\nabla^2 f = \mathrm{div}(\mathrm{grad}\,f)$ はスカラー場のラプラシアン。熱伝導や波動を記述する。

- $\mathrm{rot}(\mathrm{grad}\,f) = \mathbf{0}$：勾配場に渦はない。

- $\mathrm{div}(\mathrm{rot}\,\mathbf{F}) = 0$：渦場に湧き出しはない。

- いずれも偏微分の順序交換 $\partial_i\partial_j = \partial_j\partial_i$ からの当然の帰結。

§7.7 ナブラの公式集

実用的な計算のために、$\nabla$ を含む積の微分則と代表的なベクトル恒等式をまとめておく。以下、$f, g$ はスカラー場、$\mathbf{F}, \mathbf{G}$ はベクトル場とする。

7.7.1 積の微分則

勾配の積：

$$\nabla(fg) = f\,\nabla g + g\,\nabla f$$

発散の積：

$$\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = (\nabla f) \cdot \mathbf{F} + f\,(\nabla \cdot \mathbf{F})$$

回転の積：

$$\nabla \times (f\mathbf{F}) = (\nabla f) \times \mathbf{F} + f\,(\nabla \times \mathbf{F})$$

クロス積の発散：

$$\nabla \cdot (\mathbf{F} \times \mathbf{G}) = (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{G} - \mathbf{F} \cdot (\nabla \times \mathbf{G})$$

7.7.2 二回作用の恒等式

スカラー場の勾配の回転と、ベクトル場の回転の発散は §7.6 で導いた。公式集として再掲する。

勾配の回転はゼロ：

$$\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$$

回転の発散はゼロ：

$$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$$

回転の回転：

$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{F}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{F}) - \nabla^2 \mathbf{F}$$

これはラプラシアンを発散と回転に分解する式である。導出には BAC-CAB 則（§7.7.4）を使う。

スカラー場の勾配の発散（= ラプラシアン）：

$$\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f$$

§7.5 の定義そのもの。

7.7.3 スカラー三重積

三つの縦ベクトル $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ のスカラー三重積は、$\mathbf{A}$ と $\mathbf{B}\times\mathbf{C}$ のドット積で定義される。

$$\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C})$$

この値は $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ の張る平行六面体の符号付き体積に等しい。巡回置換に対して不変であり、二つのベクトルを入れ替えると符号が反転する。

$$\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = \mathbf{B} \cdot (\mathbf{C} \times \mathbf{A}) = \mathbf{C} \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B})$$

7.7.4 ベクトル三重積（BAC-CAB 則）

$$\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = \mathbf{B}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}) - \mathbf{C}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})$$

クロス積を二重に使うときに現れる。右辺の各項はスカラー倍されたベクトルであり、BAC-CAB の語呂で記憶される。

注（なぜ公式を列挙したのか）ここに並べた公式は、大学のベクトル解析の試験で暗記を強いられる代表格である。では、$d$ と $\ast$ で書き直せば公式の数が劇的に減るかというと、そうでもない。微分形式の側でも、$d(f\omega) = df\wedge\omega + f d\omega$ のような規則はそれなりにある。

ベクトル解析の真の問題は、公式の数ではない。すべてが同じ「$3$ 成分の矢印」に見えてしまうことだ。$\nabla f$ も $\nabla \times \mathbf{F}$ も $\nabla^2\mathbf{F}$ も、どれも画面上ではただの矢印の束である。しかし $\nabla f$ は勾配（ポテンシャルの傾き）、$\nabla \times \mathbf{F}$ は渦の軸——矢印の幾何的意味はまったく異なる。お絵かきと直感に頼っていると、問題が複雑になった瞬間に区別がつかなくなる。微分形式は、$0$-form、$1$-form、$2$-form、$3$-form と測定器の次数を明示することで、この混同を原理的に防ぐ。$d$ は常に次数を $+1$ し、$\ast$ は常に次数を反転させる——少数の規則に型の情報が載っているから、矢印を見なくても式の形だけで何をしているかがわかる。これが、第8章以降で form の言葉に立ち戻る理由である。

注（ここだけの話）$\mathrm{grad}=d$, $\mathrm{rot}=\ast d$, $\mathrm{div}=\ast d\ast$ と対応を書き下すのは、実はベクトル解析を解体するための妥協案という側面がある。

一部の微分形式の啓蒙的な説明では、きれいに書ける範囲が強調されることが多い。しかし、ベクトル解析を本気で翻訳しようとすると、$\ast$ が何度も顔を出し、必ずしも見た目が簡単になるわけではない。たとえば §7.7.4 のベクトル三重積 $\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C})$ をこの枠組みで書き直すと、$\ast(\alpha \wedge \ast(\beta \wedge \gamma))$ のように $\ast$ の入れ子が発生し、むしろベクトル解析よりも不格好な姿を晒すことになる。

それでも一部の啓蒙書が美しさを強調するのは、計量という「強力な制限」を召喚する前の世界——すなわち $\ast$ を使わずに $d$ と $\wedge$ だけで編まれた風景——があまりに純粋で美しいからだ。計量（内積）を定義する前からマクスウェル方程式のような物理法則の骨格が定まる、という事実は確かに衝撃的である。

その「純粋な微分形式の世界」へ向かうために、あえて不格好な $\ast$ まみれの翻訳作業を一度やり遂げる。それが本書のこの段階の狙いである。この「微分形式によるベクトル解析」の計算を汚い、不自然だ、と読者が思えたなら、それは正しい。その時、君はもうベクトル解析の初学者を卒業している。

§7.8 積分定理——ストークス・ガウス・グリーン

ベクトル解析の最も重要な仕事は、微分演算（grad, div, rot）と積分を結びつけることにある。以下に三つの積分定理を、$\nabla$ の言葉で示す。

7.8.1 ストークスの定理

曲面 $S$ とその境界である閉曲線 $C = \partial S$ に対し、

$$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\,dS$$

左辺は曲線 $C$ に沿った $\mathbf{F}$ の線積分（循環）、右辺は曲面 $S$ 上の回転の法線成分の面積分である。「境界での循環は、内部の渦の総和に等しい」という意味を持つ。$\mathbf{n}$ は曲面の単位法線ベクトルで、$C$ の向きに対して右ねじの関係で選ぶ。

注（グリーンの定理）$S$ が $xy$ 平面内の領域 $D$ で、$\mathbf{F}$ の成分が $F_x=P,\;F_y=Q,\;F_z=0$ の場合、ストークスの定理は次の形になる。これはグリーンの定理と呼ばれる。
$$\oint_{\partial D} (P\,dx + Q\,dy) = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\,dy$$

7.8.2 ガウスの発散定理

立体 $V$ とその境界である閉曲面 $S = \partial V$ に対し、

$$\oiint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,dS = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV$$

左辺は閉曲面 $S$ を通る $\mathbf{F}$ の外向きの流束、右辺は立体 $V$ 内の発散の体積分である。「境界を通る流れの総和は、内部の湧き出しの総和に等しい」という意味を持つ。

7.8.3 積分定理の共通構造

ストークスの定理とガウスの発散定理を並べて見ると、共通のパターンが浮かぶ。

定理	境界での積分	内部での積分	微分演算
ストークス	$\displaystyle\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$	$\displaystyle\iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS$	rot
ガウス	$\displaystyle\oiint_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS$	$\displaystyle\iiint_V (\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV$	div

いずれも「境界で測った量 = 内部の微分量の総和」という形をしている。§7.6 の $\mathrm{div}(\mathrm{rot})=0$ は、この枠組みでは「渦場には湧き出しがないから、閉曲面で囲んでも中から出てくるものはない」と読める。

しかし、ここには一つの不満が残る。ストークスとガウスは、grad / rot / div という異なる演算子を使うため、別々の定理として暗記しなければならない。第5章で $\int_{\partial M}\omega = \int_M d\omega$ という一本の式がこれらすべてを統合していたことを思い出してほしい。第8章では、$\nabla$ の世界の積分定理を、この一本の形に読み替える対応を整理する。

【ここまでのチェックポイント — §7.8】

- ストークスの定理：$\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS$

- ガウスの発散定理：$\oiint_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint_V (\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV$

- グリーンの定理はストークスの定理の平面版。

- これらの積分定理は「境界の積分 = 内部の微分の積分」という共通構造を持つが、$\nabla$ の言葉では別々の定理として扱わざるを得ない。

§7.9 第8章へ —— 矢印を見るな、測定器を見ろ

第6章で、我々は外微分 $d$ とホッジ・スター $\ast$ を組み合わせることで、$\mathrm{grad}=d$、$\mathrm{rot}=\ast d$、$\mathrm{div}=\ast d\ast$ という三つの型が現れることを見た。

本章では、同じ対象を標準的なベクトル解析の言葉で書き直した。$\nabla f$、$\nabla\times\mathbf F$、$\nabla\cdot\mathbf F$ は便利だが、画面上ではすべて矢印やスカラーに見える。しかし、それぞれが担う幾何的意味はまったく異なる。そして問題が複雑になるほど、矢印だけを見て区別するのは難しくなる。

次章では、第6章で得た $d,\ast$ の型と、本章で導入した $\nabla$ 記法を対応させる。$\nabla f$ を $df$ に、$\nabla\times\mathbf F$ を $\ast d\omega$ に、$\nabla\cdot\mathbf F$ を $\ast d\ast\omega$ に読み替えることで、標準ベクトル解析の式が、測定器の次数を持った式として整理される。矢印の絵に頼らず、測定器の代数で考える——その視点を、次章で標準ベクトル解析の記法と接続する。

【ここまでのチェックポイント — 第7章全体】

- $\nabla$ を偏微分演算子を縦に並べた形式的ベクトルとして定義し、勾配・発散・回転・ラプラシアンを導入した。

- $\mathrm{grad}\,f = \nabla f$, $\mathrm{div}\,\mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \operatorname{tr}(\mathbf{J}_\mathbf{F})$, $\mathrm{rot}\,\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F}$。

- $\nabla^2 = \mathrm{div}\,\mathrm{grad}$, $\mathrm{rot}(\mathrm{grad}) = 0$, $\mathrm{div}(\mathrm{rot}) = 0$。

- クロス積の外積行列表示と BAC-CAB 則を確認した。

- ベクトル解析の難しさは公式の数もさることながら、すべてが同じ矢印に見えることにある。微分形式は測定器（$n$-form）の次数で区別する。第8章でこの二つの言語を繫ぐ。

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