第10章：マクスウェル方程式 —— 美しさのその先へ

§10.0 お約束

さて、いよいよ本書も終わりが近づいてきた。微分形式の物理数学の教科書というのは、最後にマクスウェル方程式を微分形式で書き直して締めるというのが、どうやらお約束らしい。筆者もこの慣習に倣うことにしよう。

ただし、一言断っておく。本書は電磁気学の教科書ではない。電磁気学を知っていれば意味づけも楽しめるが、知らなくても成分計算として追えるように書く。ここでは、$E_x, E_y, E_z, B_x, B_y, B_z$ という6つの関数が登場し、それらがとある反対称行列に収まり、$d$ と $\ast$ を作用させるとベクトル解析で有名な式が現れる——その流れを、純粋に代数的な操作として眺めてほしい。

注 （電磁気学が未習の読者へ）本章に出てくる物理用語はすべて読み飛ばしてよい。必要なのは「6つの関数を4×4行列に並べ、$d$ と $\ast$ を作用させたら何が出るか」を見ることだけだ。電磁気学の知識がなくても、ここまでの章を読み通した読者なら、行列の成分を追うだけで十分に楽しめるはずである。

注 （本章の立ち位置）本書の核心は第9章までで完結している。本章は、いわばおまけ、あるいは蛇足に近い。あまり真面目に身構えず、気楽に読んでほしい。

§10.1 マクスウェル方程式——2本で書く

電磁気学の基本法則は、ベクトル解析記法で次の4本の式にまとまる。なお、SI単位系を採用する。

このままでは、これから $4\times4$ 行列に押し込むための「型」が揃っていない。電場 $\mathbf{E}$（次元 $\mathrm{V/m}$）と磁束密度 $\mathbf{B}$（次元 $\mathrm{T}$）は単位が違い、さらに空間の微分（$\mathrm{rot}$ や $\mathrm{div}$）と時間 $t$ の微分も次元が異なる。

そこで、すべてを「長さ」の次元に変換する。

1. 時間の変換：時間 $t$ に光速 $c$ を掛けて、長さの次元を持つ座標 $w = ct$ を導入する。時間微分は $\frac{\partial}{\partial t} = c\frac{\partial}{\partial w}$ となる。

1. 磁場の変換：磁束密度 $\mathbf{B}$ に $c$ を掛けて、電場と同じ $\mathrm{V/m}$ の次元を持つ $\mathbf{B}' = c\mathbf{B}$ を定義する。

これらを上の4式に代入する。ファラデーの法則は、

アンペールの法則も同様に整理すると、

時間微分が $\frac{\partial}{\partial w}$ になり、空間微分（$\mathrm{rot}, \mathrm{div}$）と分母の次元（長さ）が揃った。

以降、$\mathbf{B}'$ のことを改めて $\mathbf{B}$ と呼び、$w$ を改めて $t$ と書く。つまり、これ以降の $\mathbf{B}$ は本来の磁束密度ではなく $c$ 倍された「次元を揃えた磁場」であり、$t$ は本来の時間ではなく $c$ 倍された「長さの次元を持つ時間座標」である。

これで準備が整った。$\mathbf{E}$ と $\mathbf{B}$ は同じ次元を持ち、同じ行列に並べられる。電磁場をまとめた$2$-form $F$ と、電流・電荷をまとめた$1$-form $\mathcal{J}$ （正確には4元電流を計量で下げたもの）を用意すれば、4本の式は本書の正規化・符号規約のもとで2本にまとまる。

ここでは、物理法則としての形を見せるために、ホッジ・スターを添字なしの $\ast$ で書いている。成分計算に入るときは、4次元時空上の外微分とホッジ・スターを $d_4,\ast_4$ と書き、各時刻の空間3次元上の外微分とホッジ・スターを $d_3,\ast_3$ と書き分ける。なお、本章の規約では $\mu_0\ast\mathcal{J}$ を成分で直接定義していく。

以上である。4本が2本に——この簡潔さは、微分形式の記述能力を象徴するものだ。

しかし、本書はここで終わらない。$F$ の中身は何なのか。$dF=0$ を成分で展開すると、本当に $\mathrm{rot}\,\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$ と $\mathrm{div}\,\mathbf{B} = 0$ が出てくるのか。それを、この章で全部書き下す。

§10.2 電磁場 $F$ と符号規約の固定

電磁場 $F$ を具体的な成分で書き下す前に、本章で用いる時空の符号規約を厳密に固定しておこう。符号の選択には複数の流儀があるが、本書では以下のセットを採用する。

• 座標順序： $(x^0, x^1, x^2, x^3) = (t, x, y, z)$
• 時間座標： $t = ct_{\text{SI}}$ （長さ次元に正規化済み）
• 磁場： $\mathbf{B} = c\mathbf{B}_{\text{SI}}$ （電場と次元を揃えた量）
• 向き（基準の $4$-form）： $dt \wedge dx \wedge dy \wedge dz$
• 計量シグネチャ： $(-, +, +, +)$
• 2-form の行列表現： 第2章の規約に従い、基底 $dx^\mu \wedge dx^\nu$ の係数を、行列の $(\mu, \nu)$ 成分に配置する。

この規約のもとで、電磁場 $2$-form $F$ を次のように定義する。

電場項（$dt$ を含む項）に負号がついているのは、後述するファラデーの法則 $\mathrm{rot}\,\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$ およびポテンシャル構成 $F = -d\mathcal{A}$ との整合性を保つための意図的な選択である。

これを $4\times4$ の反対称行列で表示すれば、次のようになる。

注 （電場項の符号と行列）

本書の行列規約では、$dt \wedge dx$ の係数 $-E_x$ を行列の $(t,x)$ 成分に置く。したがって $F_{tx}=-E_x,\;F_{xt}=E_x$ である。多くの教科書では $F_{t x}$ を正の $E_x$ と定義するが、その場合は $F = E_x dx \wedge dt + \dots$ （順序が逆）とするか、あるいはポテンシャルの定義 $F=d\mathcal{A}$ の符号を調整する必要がある。本書では $F=-d\mathcal{A}$ と $dt \wedge dx$ の順序を優先し、この符号を採る。

§10.3 ミンコフスキー計量——$\mathbb{R}^3$ から4次元へ

本書は一貫して $\mathbb{R}^3$ のデカルト座標 $(x,y,z)$ を舞台にしてきた。しかし $F$ を扱うには、時間 $t$ を加えた4次元時空 $(t,x,y,z)$ が必要になる。

幸い、ここまでに積み上げた知識があれば、拡張は容易だ。第6章で $\mathbf{g} = J^T J$ を導出し、第9章で $\mathbf{g}$ から $\ast$ の辞書を作る手順を練習した。時空でも同じことをすればよい。計量は次のようになる（時間成分の符号が空間成分と異なる点が唯一の新しい要素だ）。

注 （正定値性からの離脱）本書の計量はこれまでつねに正定値（$\mathbf{v}^T\mathbf{g}\,\mathbf{v} > 0$ for $\mathbf{v}\neq\mathbf{0}$）だった。ミンコフスキー計量は正定値ではなく、これまでの $\mathbf{g}=J^T J$ 型の計量とは異なる。ここでは「計量行列から $\ast$ の辞書を作る」という手順だけを引き継いでいる。この違いは $\ast$ の辞書に符号の変化として現れるが、計算手順そのものは変わらない。この点は、次章で多様体や計量を眺めるときの伏線になる。

注 （4次元ホッジ・スターの規約）

本章では向き（基底の順序）を $dt\wedge dx\wedge dy\wedge dz$ とし、時空の計量符号を $(-,+,+,+)$ とする。この規約のもとで、以下の $\ast F$ や $\ast\mathcal{J}$ を用いる。マクスウェル方程式を象徴的に書くときは従来どおり $\ast$ と書くが、成分計算では4次元時空上のホッジ・スターを $\ast_4$、空間3次元上のホッジ・スターを $\ast_3$ と書き分ける。異なるシグネチャや向きの規約では、いくつかの符号が反転することに注意されたい。

§10.4 $dF=0$ を全部書き下す

$F$ は $2$-form だから、$dF$ は $3$-form になる。ここからの成分計算では、4次元時空上の外微分であることを明示して $d_4F$ と書く。4次元空間での $3$-form の独立成分は4つ。§10.2 で再定義した $F$（電場項に負号を含む）について $d_4$ を作用させ、同じ基底 $3$-form の係数をまとめる。

各項に $d_4$ を作用させる。電場項は次のようになる（符号の変化に注意）：

磁場項は時間微分 $t$ も含み、次のようになる：

これらをすべて足し合わせ、基底 $3$-form ごとに整理する。たとえば $dt\wedge dy\wedge dz$ の係数は次のようになる：

各基底係数をゼロとおくと、成分計算としての $d_4F=0$ は次の 4 本の式と同値になる。象徴的には、これを $dF=0$ と書いている。

1行目は磁場に関するガウスの法則、2〜4行目はファラデーの電磁誘導の法則である。電場項に負号を置いたことにより、微分形式の一本の方程式 $dF=0$（計算上は $d_4F=0$）から、ベクトル解析でおなじみの正しい符号の公式が導き出された。

§10.5 $\ast F$ と残りの2本

もう一つの式 $d(\ast F) = \mu_0(\ast\mathcal{J})$ も、§10.4 と同じ手順で全部書き下そう。象徴的には $\ast$ と書くが、ここからの成分計算では4次元時空上のホッジ・スターを明示して、$d_4(\ast_4F)=\mu_0(\ast_4\mathcal{J})$ と書く。

まず、§10.2 で再定義した $F$ から $\ast_4F$ を求める。§10.3 のミンコフスキー計量シグネチャ $(-,+,+,+)$ と向き $dt\wedge dx\wedge dy\wedge dz$ のもとで4次元ホッジ・スターを作用させると、$\ast_4F$ は次のようになる。

行列表示では次の通りだ。

電場項の符号を反転させた $F$ を出発点としたことで、$\ast_4$ 作用後の $\ast_4F$ では逆に磁場項が $dt$ を含む項になり、電場項が空間のみの項（$2$-form）へ移動している。

次に、$d_4(\ast_4F)$ を展開する。基底 $3$-form ごとに整理すると、次のようになる。

右辺の $\mu_0(\ast_4\mathcal{J})$ は、電荷密度 $\rho_{\mathrm e}$ と電流密度 $\mathbf{J}$ を含む $3$-form である。§10.1 の正規化のもとで次のように書ける。

ここでは、まだ $\ast_3$ を使っていない。両辺を4次元の基底 $3$-form の係数としてそのまま比較すると、まず $dx\wedge dy\wedge dz$ の係数から

が得られる。これはガウスの法則 $\mathrm{div}\,\mathbf E=\rho_{\mathrm e}/\varepsilon_0$ である。残りの3つの基底 $3$-form からは

が得られる。移項すれば、

である。ここまでで、4次元の式 $d_4(\ast_4F)=\mu_0(\ast_4\mathcal{J})$ から、残りの2本が成分として出た。

同じ内容を、空間3次元の微分形式として圧縮して書くこともできる。いま得た $\ast_4F$ は、各時刻の空間上のホッジ・スター $\ast_3$ を使えば

と書ける。ここで、デカルト座標では $g_3=I$ なので

である。$\mathbf{B}^T g_3$ は、ベクトル場 $\mathbf{B}$ を空間計量 $g_3$ で $1$-form として読み直したものである。$\ast_3(\mathbf{E}^T g_3)$ も同様に、$\mathbf{E}$ から作る空間上の $2$-form である。

注 （$\flat$ 記法を使わない理由）微分幾何では、計量を通じてベクトル場を $1$-form に対応させる操作を、しばしば $\mathbf{B}^\flat$ のような記号で書く。本書では意図的にそれを避け、第8章と同じく $\mathbf{B}^T g_3$ と明示する。新しい操作を導入しているわけではなく、第6章以降の計量対応と同じである。

この分解を使えば、上の4次元計算は

と読める。右辺も空間3次元の記法では

と書ける。ただしここでの $J=J_x\,dy\wedge dz+J_y\,dz\wedge dx+J_z\,dx\wedge dy$ は、空間上の電流密度 $2$-form である。したがって、$dt$ を含まない部分と含む部分を比較すれば、

が得られる。両辺に必要に応じて $\ast_3$ を作用させれば、これは先ほどの $\mathrm{div}\,\mathbf E$ と $\mathrm{rot}\,\mathbf B$ の式に戻る。これによって、4 本すべてのマクスウェル方程式が、微分形式の 2 本の式から正しい符号と係数で導かれることが完全に確認できた。

つまり、マクスウェル方程式の4本は、微分形式では

の2本に集約される。そして、この2本を実際に行列と偏微分で展開するときは $d_4,\ast_4$ を使い、空間3次元の辞書に戻すときは $d_3,\ast_3$ を使う。見慣れたベクトル解析の式は、この二つの階層を行き来することで再現される。美しさの裏に、ちゃんと泥臭い計算が息づいている——それを見届けたことが、本章の成果である。

注 （なぜ2本なのか）鋭い読者ならこう思うかもしれない——「結局2本か。$dF=0$ と $d(\ast F)=\mu_0(\ast\mathcal{J})$ を、1行にまとめられないのか」と。できる。第12章では $\mathbf{E}$ と $\mathbf{B}$ をひとまとめにした複素ベクトルと、パウリ行列から作られるディラック演算子によって、マクスウェル方程式をたったの一撃に統合する。楽しみにしていてほしい。

注 （なぜここで終わるのか）多くの教科書は $dF=0$ を示した時点で「かくしてマクスウェル方程式は幾何学である」と締める。しかし本書の流儀は違う。行列の成分を全部書き下し、計算では $d_4,\ast_4$ を使い、空間の辞書では $d_3,\ast_3$ に戻してベクトル解析の式を再現する——その往復ができることこそ、第1章から積み上げてきた「測定器」の枠組みの到達点だ。

§10.6 ポテンシャル構成——$F=-d\mathcal{A}$ から始める

§10.2 では、電磁場 $F$ を $\mathbf{E}$ と $\mathbf{B}$ の寄せ集めとして定義した。

しかし、ここにはもう一段深い見方がある。

$F$ は、ある $1$-form から外微分によって作ることができる。

その $1$-form を $\mathcal{A}$ と書く。もし

と置けるなら、

である。

つまり、§10.4 で成分を全部書き下して得た

は、外微分の恒等式

の中にすでに入っていたことになる。

これがポテンシャル表示の核心である。

§10.4 では、$dF=0$ を4つの基底 $3$-form の係数として展開した。しかし、$F$ を $-d\mathcal{A}$ として作れば、その4本は一行で自動的に従う。

では、そのような $\mathcal{A}$ を実際に書いてみよう。

4元ポテンシャルを置く

4元ポテンシャル $\mathcal{A}$ は $1$-form である。電磁気学では、スカラーポテンシャル $\phi$ とベクトルポテンシャル $\mathbf{A}$ が組になる。

本章では、§10.2 の $F$ と、標準的な

を同時に満たすため、ポテンシャル $1$-form を次の符号で置く。

ここで $\phi,A_x,A_y,A_z$ は、いずれも $(t,x,y,z)$ の関数である。

注（ポテンシャルの正規化）

ここでの $\mathbf{A}$ も、本章の正規化に合わせた量として読む。第10章の $\mathbf{B}$ が本来の磁束密度ではなく $c\mathbf{B}_{\mathrm{SI}}$ であるのと同様に、$\mathbf{A}$ も必要なら $c\mathbf{A}_{\mathrm{SI}}$ として正規化されたベクトルポテンシャルだと思えばよい。この約束のもとで、$\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}$ と $\mathbf{E}=-\nabla\phi-\partial\mathbf{A}/\partial t$ が同時に成り立つ。

ここから $d\mathcal{A}$ を計算し、最後に $F=-d\mathcal{A}$ と置く。

この計算の目的は、§10.2 で定義した $F$ の成分と、通常のポテンシャル公式が同時に整合することを確認することである。

$d\mathcal{A}$ を成分で計算する

$d\mathcal{A}$ の計算は、第5章以来の手順そのものである。$\mathcal{A}$ の4項それぞれに $d$ を作用させる。

$\phi$ の時間微分は $dt\wedge dt=0$ で消える。

同様に、$A_x$ の $x$ 微分、$A_y$ の $y$ 微分、$A_z$ の $z$ 微分も、それぞれ $dx\wedge dx=0$、$dy\wedge dy=0$、$dz\wedge dz=0$ によって消える。

これらを足し合わせ、ウェッジ積の反対称性で基底 $2$-form ごとに整理する。

まず、$dt\wedge dx$ の係数を見よう。

$d(\phi\,dt)$ から

が出る。また、$d(-A_x\,dx)$ から

が出る。したがって、$d\mathcal{A}$ の $dt\wedge dx$ 係数は

である。

次に、$dy\wedge dz$ の係数を見よう。

$d(-A_y\,dy)$ から

が出る。また、$d(-A_z\,dz)$ から

が出る。したがって、$d\mathcal{A}$ の $dy\wedge dz$ 係数は

である。

全6基底について同様に整理すると、

符号の理由

§10.2 で定義した $F$ は

であった。

ここで、もし $F=d\mathcal{A}$ と置くと、$dt\wedge dx$ 係数の比較から

となり、

を得てしまう。これは標準的な

とは逆符号である。

そこで本章では

と置く。

このとき、$dt\wedge dx$ の係数は

となるので、

が得られる。

同様に、$dy\wedge dz$ の係数を見ると、$-d\mathcal{A}$ の $dy\wedge dz$ 係数は

である。したがって、

が得られる。

全成分をまとめると、

つまり、

と置けば、§10.2 の $F$ の係数表示と、標準的なポテンシャル公式が同時に整合する。

注（$F$ とポテンシャルの符号規約）

$F=-d\mathcal{A}$ という定義は、§10.2 の $F$ の $dt\wedge dx$ 係数が $-E_x$ であることと、$\mathbf{E}=-\nabla\phi-\partial\mathbf{A}/\partial t$、$\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}$ を同時に満たすために採用している。$F=+d\mathcal{A}$、$\mathcal{A}=-\phi\,dt+\cdots$ など、異なる符号の組み合わせを使う流儀も存在する。

$dd=0$ が $dF=0$ を証明する

ここで、冒頭の話に戻ろう。

$F=-d\mathcal{A}$ だから、

これは、第5章 §5.8 で見た外微分の基本性質

そのものである。

したがって、§10.4 で成分展開して得た

は、$F=-d\mathcal{A}$ と置いた瞬間に自動的に従う。

ここで起きていることは、単なる記法の圧縮ではない。

第5章で見た $dd=0$ が、ここではマクスウェル方程式の半分として現れている。

$F$ を $-d\mathcal{A}$ として作った瞬間、$dF=0$ は証明すべき法則ではなく、外微分の構造から自動的に従う恒等式になる。

注（$\mathbf{B}$ と $\mathrm{div}\,\mathbf{B}=0$）

ベクトル解析でも「$\mathbf{B}$ が何かの回転で書けるなら $\mathrm{div}\,\mathbf{B}=0$」は公式として知られている。$\mathrm{div}\,\mathrm{rot}=0$ である。これが $dd=0$ の3次元ベクトル解析版だ。

残るのは、もう1本の方程式である

$dF=0$ は、$F=-d\mathcal{A}$ から自動的に従う。

では、もう1本

はどうなるだろうか。

ここでは構造を見るため、象徴表記のまま書く。成分計算をするなら $d_4(\ast_4F)=\mu_0(\ast_4\mathcal{J})$ と読む箇所である。こちらは、自動的にゼロになるわけではない。$F=-d\mathcal{A}$ を代入すると、

すなわち

となる。

これが、ポテンシャル $\mathcal{A}$ が満たす方程式である。

注（ゲージ自由度）$\mathcal{A}'=\mathcal{A}+d\chi$（$\chi$ は任意の $0$-form）と変換する。このとき$F'=-d\mathcal{A}'=-d\mathcal{A}-d(d\chi)=-d\mathcal{A}=F$となり、物理的な電磁場 $F$ は不変である。これがゲージ変換であり、$dd=0$ のもう一つの現れだ。電磁気学では、スカラーポテンシャル $\phi$ とベクトルポテンシャル $\mathbf{A}$ を同時に調整することで、$F$ を変えずに計算に都合のよいゲージを選ぶことができる。

【ここまでのチェックポイント — 第10章全体】

- 電磁場 $F$ は $4\times4$ 反対称行列。6つの独立成分に $E_x,E_y,E_z,B_x,B_y,B_z$ が収まる。

- 象徴的には $dF=0,\;d(\ast F)=\mu_0(\ast\mathcal{J})$ と書く。成分計算では、4次元時空上の演算を $d_4,\ast_4$、空間3次元上の演算を $d_3,\ast_3$ と書き分ける。

- $d_4F=0$ を成分展開すると $\mathrm{div}\,\mathbf{B}=0$ と $\mathrm{rot}\,\mathbf{E}=-\partial\mathbf{B}/\partial t$ が現れる。

- この章のシグネチャ・向きの規約のもとでは、$\ast_4F$ は $E$ と $B$ を入れ替える形に見える。$d_4(\ast_4F)=\mu_0(\ast_4\mathcal{J})$ から残りの2本が出る。

- ポテンシャル構成：$\mathcal{A}=\phi\,dt-A_x\,dx-A_y\,dy-A_z\,dz$ から $F=-d\mathcal{A}$ が得られる。すると $dF=0$ は $dd=0$ より自動的に成り立つ。これは $\mathrm{div}\,\mathbf{B}=0$ と $\mathrm{rot}\,\mathbf{E}=-\partial\mathbf{B}/\partial t$ が外微分の構造に含まれている、ということである。

- もう1本の方程式 $d(\ast F)=\mu_0(\ast\mathcal{J})$ は、$F=-d\mathcal{A}$ を代入すると、ポテンシャル $\mathcal{A}$ が満たす方程式になる。成分計算ではこれを $d_4(\ast_4F)=\mu_0(\ast_4\mathcal{J})$ と読む。

付録E：$d_4F$ と $d_4(\ast_4F)$ のスライス行列表示 —— $4\times4\times4$ 配列で見るマクスウェル方程式

§10.4・§10.5 では、象徴的な式 $dF=0,\;d(\ast F)=\mu_0(\ast\mathcal J)$ を、計算用の記法 $d_4F,\;d_4(\ast_4F)$ に直して基底 $3$-form の係数として展開した。付録Eでは、同じ計算を $4\times4$ スライス行列の束——実質的には $4\times4\times4$ の3階テンソル——で可視化する。付録Aの延長線上にあり、本書の「全部行列に載せる」流儀の到達点でもある。

E.1 基底 $3$-form とそのスライス行列 —— 全16枚

4次元の基底 $3$-form は次の4つである（§10.4 の並びと比べると、$\omega_2$ と $\omega_3$ の符号・順序が異なるが、内容は同じ4つである）。

各 $\omega_i$ について、座標方向 $t,x,y,z$ のスライス行列 $\mathbf{S}_{t}^{(\omega_i)}, \mathbf{S}_{x}^{(\omega_i)}, \mathbf{S}_{y}^{(\omega_i)}, \mathbf{S}_{z}^{(\omega_i)}$ を定義する。スライス行列とは「その方向の座標を除いた残りの $3$ 方向が作る $3$-form」を $4\times4$ 反対称行列に焼き直したものである。行・列の順は $(t,x,y,z)$。非ゼロ成分には $\pm1$ が入る。$4$ 基底 $\times 4$ スライス $=$ 全 $16$ 枚。

（1） $\omega_1 = dt\wedge dx\wedge dy$ のスライス：

（2） $\omega_2 = dt\wedge dx\wedge dz$ のスライス：

（3） $\omega_3 = dt\wedge dy\wedge dz$ のスライス：

（4） $\omega_4 = dx\wedge dy\wedge dz$ のスライス：

16枚のうち、$\mathbf{S}_{z}^{(\omega_1)}, \mathbf{S}_{y}^{(\omega_2)}, \mathbf{S}_{x}^{(\omega_3)}, \mathbf{S}_{t}^{(\omega_4)}$ の4枚はゼロ行列である。残る12枚に $\pm1$ が一つずつ（と反対称のペアが一つずつ）入っている。これが $4\times4\times4$ テンソルの正体だ。

E.2 $dF$ をスライス行列で書く

§10.4 の展開により、$dF$ の各基底係数は次で与えられる。

$dF$ の各スライスは、4つの基底スライス行列を係数 $A_{\cdots}$ で線形結合したものである。たとえば $t$-スライス $\mathbf{S}_{t}^{(dF)}$ は、全 $16$ 成分が明示された単一の $4\times4$ 反対称行列にまとまる。

$x,y,z$ のスライス $\mathbf{S}_{x}^{(dF)}, \mathbf{S}_{y}^{(dF)}, \mathbf{S}_{z}^{(dF)}$ も同様に4項の線形結合から得られる。$dF$ 全体は、これら4枚のスライス行列の束である。

E.3 フロベニウス積で係数を抜き出す

付録Dで導入したフロベニウス積は、$4\times4$ 行列にもそのまま拡張できる。

注 （計量由来の内積ではない）ここでのフロベニウス積は、ミンコフスキー計量に由来する時空の内積ではない。反対称行列表示から係数を抜き出すための、配列上のペアリングである。基底スライス行列との係数抽出演算として使っており、$\frac{1}{2}\operatorname{tr}(A^T B)$ はそのための計算手段だ。

この内積を使うと、各スライスから係数を一行で抽出できる。たとえば $A_{txy}$ は

である。$\mathbf{S}_{t}^{(\omega_1)}$ の非ゼロ成分は $(x,y)=+1, (y,x)=-1$ だけなので、フロベニウス積は $(1 \cdot S_{xy} + (-1) \cdot S_{yx})/2 = (S_{xy} - S_{yx})/2 = S_{xy}$（$\mathbf{S}_{t}^{(dF)}$ が反対称だから $S_{yx}=-S_{xy}$）。一発で係数が抜ける。

同様に、すべての係数は対応する基底スライスとのフロベニウス積で得られる。この構造は、付録Dで $\ast_{2\to1}(\mathbf{M}) = (E_1\!\cdot\!\mathbf{M},\;E_2\!\cdot\!\mathbf{M},\;E_3\!\cdot\!\mathbf{M})$ が $2$-form $\mathbf{M}$ の各成分を抽出したのと完全に相似である。次数が $1\to2$ から $2\to3$ に上がり、内積をとる相手が縦ベクトルから $4\times4$ 行列の束に変わっただけだ。

E.4 $dF=0$ をスライスで読む

$dF=0$ とは、4枚のスライス行列すべてがゼロ行列になることである。

$t$-スライス（上記）の非ゼロ成分を読めば、

• $(x,y)$ 成分 $=0$ から $\mathrm{rot}_z\,\mathbf{E} + \partial B_z/\partial t = 0$
• $(x,z)$ 成分 $=0$ から $-\mathrm{rot}_y\,\mathbf{E} - \partial B_y/\partial t = 0$
• $(y,z)$ 成分 $=0$ から $\mathrm{rot}_x\,\mathbf{E} + \partial B_x/\partial t = 0$

これら3つは $\mathrm{rot}\,\mathbf{E} = -\partial\mathbf{B}/\partial t$ にほかならない。$z$-スライス（$\mathbf{S}_{z}^{(\omega_4)}$ 由来）の非ゼロ成分からは $\mathrm{div}\,\mathbf{B} = 0$ が現れる。見かけは巨大だが、中身は §10.4 の4本の係数比較式の繰り返しにすぎない。

E.5 $d_4(\ast_4F) = \mu_0(\ast_4\mathcal{J})$ のスライス表示

有源側も同型の構造を持つ。$\ast_4F$ と $\ast_4\mathcal{J}$ は §10.5 で展開済みであり、$d_4(\ast_4F)$ は $d_4F$ と同型のスライス行列になる——$\mathbf{E}$ と $\mathbf{B}$ の係数位置が入れ替わるだけだ。

$d_4(\ast_4F)$ の $\omega_1\sim\omega_4$ 係数を $B_{txy}, B_{txz}, B_{tyz}, B_{xyz}$ と書く。

$d_4(\ast_4F)$ の各スライスも $d_4F$ と同様に、4つの係数 $B_{\cdots}$ で基底スライス行列を線形結合すればよい。$t$-スライスを項別に書く。

同じ位置の成分を一枚の行列に足し合わせる。$d_4F$ の $t$-スライスと見比べてほしい——$\mathbf{E}$ と $\mathbf{B}$（および添字の巡回）がきれいに入れ替わっている。

右辺 $\mu_0(\ast_4\mathcal{J})$ も同じ4枚のスライス行列の線形結合で書ける。$\ast_4\mathcal{J}$ を本付録の基底順に展開し直すと（§10.5 参照）、$\omega_1\!\sim\!\omega_4$ の係数は順に $-\mu_0 c J_z,\; +\mu_0 c J_y,\; -\mu_0 c J_x,\; \rho_{\mathrm e}/\varepsilon_0$ となる。すなわち

$t$-スライスの非ゼロ成分を読めば $-\mathrm{rot}\,\mathbf{B} + \partial\mathbf{E}/\partial t = -c\mu_0\mathbf{J}$、すなわち $\mathrm{rot}\,\mathbf{B} = c\mu_0\mathbf{J} + \partial\mathbf{E}/\partial t$ の各成分。$z$-スライスの $(x,y)$ 成分からは $\mathrm{div}\,\mathbf{E} = \rho_{\mathrm e}/\varepsilon_0$ が現れる。

以上で、マクスウェル方程式の全容が $4\times4\times4$ のスライス行列の束として可視化された。この「巨大配列」の各マス目に書かれているのは偏微分の組み合わせにすぎず、4次元の外微分 $d_4$ とホッジ・スター $\ast_4$ という二つの代数操作が、いかに整然とした行列の文法で物理法則を記述しているか——それを見届けたことが、本付録の成果である。

付録F：第5章の4本の式と、第10章の2本の式

第10章本文では、マクスウェル方程式を4次元時空上の2本の式として、象徴的には

と書いた。成分計算では、これを $d_4F=0,\;d_4(\ast_4F)=\mu_0(\ast_4\mathcal J)$ と読んでいる。

しかし第5章では、いきなり4次元時空上の $2$-form にまとめるのではなく、各時刻の空間上で、電場・磁場・電流・電荷をそれぞれ微分形式として扱う見方をしていた。

この付録では、第5章で見た「空間上の4本の式」と、第10章本文で見た「時空上の2本の式」が、同じマクスウェル方程式を別の切り方で書いているだけであることを確認する。

F.1 空間上の $(E,B,J,\rho_{\mathrm e})$

各時刻 $t$ ごとの空間 $(x,y,z)$ を考える。

電場を空間上の $1$-form として

と置く。

磁場を空間上の $2$-form として

と置く。

電流密度も、空間を貫く量として $2$-form で表す。

電荷密度は、空間上の $3$-form として

と書く。

ここで使う $d$ と $\ast$ は、空間3次元の $d$ と $\ast$ である。第10章本文で使った4次元時空上の $d$ と $\ast$ と区別したいときは、

と書く。

F.2 空間上の4本の式

この記法では、マクスウェル方程式は次の4本になる。

これが、第5章で見た微分形式スタイルの4方程式である。

ここで右辺は、スカラー場 $\rho_{\mathrm e}/\varepsilon_0$ を空間上の $3$-form として読むために $\ast_3$ を作用させたものである。デカルト座標では、

である。

本書では、ベクトル解析の $\mathrm{div}$ を最初から基本演算として置くのではなく、$d$ と $\ast$ の合成

として読む。そのため、電荷密度のようなスカラー場も、積分される式の右辺では $\ast_3$ によって $3$-form にしてから比較する。特に3本目は、両辺に $\ast_3$ を作用させて

と読む。左辺が、本書の辞書でいう $\mathrm{div}\,\mathbf E$ である。

ベクトル解析の記法に戻せば、これらはそれぞれ

である。

ここでの $t$ と $\mathbf B$ は、第10章本文と同じく、すでに

と正規化された量である。

注 （計量を使わない書き方もある） 本書では、ベクトル解析の $\mathrm{div}$ を基本演算として出発点にするのではなく、これまで作ってきた辞書に合わせて $\mathrm{div}=\ast d\ast$ と読む。ガウスの法則も $d_3(\ast_3E) = \ast_3\left(\frac{\rho_{\mathrm e}}{\varepsilon_0}\right)$ と書いてから、必要に応じて $\mathrm{div}\,\mathbf E=\rho_{\mathrm e}/\varepsilon_0$ と読む。つまり、計量から作った $\ast$ を使って、スカラー場・ベクトル場・form を行き来している。しかし、マクスウェル方程式には「計量を使わない」立場もある。Hehl–Obukhov の Foundations of Classical Electrodynamics: Charge, Flux, and Metric で強調されるような見方では、まず $F$ と $H$ という二つの form を分け、$dF=0, dH=J$ と書く。ここでは、方程式そのものにはホッジ・スターを入れない。計量や媒質の性質は、あとから $H$ と $F$ を結びつける関係として入る。本書では、この方向には深入りしない。目的はあくまで、これまで作ってきた $d$ と $\ast$ の辞書を使い、通常のベクトル解析の式がどう成分として現れるかを見届けることである。

F.3 $d_4F=0$ から2本が出る

第10章本文では、電磁場 $F$ を

と定義した。

空間上の $E$ と $B$ を使えば、これは

と書ける。

空間上の form $\alpha(t)$ に対しては、

である。

したがって、

を計算すると、

であり、

である。

よって

したがって、

は、$dt$ を含む部分と含まない部分をそれぞれゼロにすることと同じであり、

を与える。

つまり、第10章本文の1本目

は、第5章スタイルでは

という2本の式に分かれる。

F.4 $d_4(\ast_4F)=\mu_0(\ast_4\mathcal J)$ から残り2本が出る

次に、有源側を見る。

第10章本文の規約では、

空間上の記法で書けば、これは

である。

実際、

なので、

となる。

また、

である。

これに $d_4$ を作用させる。

まず、

である。一方、

したがって、

右辺は、第10章本文の規約では

である。

ここで

である。

したがって、$dt$ を含まない部分を比較すると、

また、$dt$ を含む部分を比較すると、

これを移項して、

したがって、第10章本文の2本目

は、第5章スタイルでは

と

の2本に分かれる。

F.5 まとめ

第5章の微分形式スタイルでは、マクスウェル方程式は空間上の4本の式として現れる。

一方、第10章本文では、時間を空間と同じく座標の一つとして扱い、電場と磁場を $F$ にまとめた。

すると、上の4本は

と

の2本にまとまる。

つまり、4本が2本になるというのは、式を圧縮したというより、空間と時間を分けて見ていたものを、時空上の $2$-form という一つの測定器にまとめ直したということである。

第5章の4本は、空間と時間を分けて眺める書き方。 第10章の2本は、時空の $2$-form として眺める書き方。

どちらも同じマクスウェル方程式を見ている。違うのは、何をひとまとまりの測定器として見るかである。