目次

第1章：$dx$ とは何か —— ベクトルを食べる測定器、あるいは横ベクトル

• §1.0 数学者の1次元、物理学者の1次元
• §1.1 リーマン和と行列の積
• §1.2 全微分 $df$ — 変化率を行列にまとめた演算子
• §1.3 ライプニッツの記法と代数的直感
• §1.4 座標変換——測定器を別の目盛りに作り替える
• §1.5 別の座標で書く——演習
• §1.6 本章のまとめと次章への展望

第2章：面積とは何か —— 平行多面体に潜む、符号のルール

• §2.0 測定器と面積・体積、そして長さ
• §2.1 小学校の面積の限界
• §2.2 面積測定器が満たすべき「3つのルール」
• §2.3 面積測定器の正体は「反対称行列」である
• §2.4 面積測定器の内部構造
• §2.5 体積測定器と行列式
• §2.6 本章のまとめと第3章への展望
• 第2章 付録A：体積測定器のテンソル積表現 — 全成分の計算

第3章：積分するとは何か —— 有限のマスを数え、最後に極限を取る

• §3.0 曲がったものを測る——小学校以来の借りを返す
• §3.1 体積——3次元、係数1
• §3.2 表面積——2次元、係数1
• §3.3 曲線——1次元、係数1（限界があらわになる）
• §3.4 係数をつける——密度と幾何の積
• §3.5 本章のまとめと次章への展望

第4章：変数変換とは何か —— 引き戻し $\Phi^*$：測定器のつじつま合わせ

• §4.0 物理は曲がる、計算は四角
• §4.1 1-form の引き戻し——仕事と運動エネルギー定理
• §4.2 2-form の引き戻し——角運動量保存と面積速度
• §4.3 3-form の引き戻し——質量保存と体積分
• §4.4 引き戻しの性質 —— ここまでに確立したこと
• §4.5 本章のまとめと第5章（外微分）への展望

第5章：微分するとは何か —— 外微分 $d$：局所のズレとStokesの橋

• §5.0 第II部の扉——観測は積分、法則は微分
• §5.1 $df$ 再訪——微分と積分は逆演算か
• §5.2 閉ループで姿を現す「ズレ」
• §5.3 微小ループの解体——ズレは面積に比例する
• §5.4 $d$ の誕生——面積あたりのズレを測る新しい測定器
• §5.5 一般の $1$-form の外微分——3次元への拡張
• §5.6 集積すれば境界だけが残る——ストークスの定理
• §5.7 同じことをもう一段——$2$-form の外微分と発散
• §5.8 $d^2 = 0$——二度測れば必ずゼロ
• §5.9 外微分の統合——一つの式、一つのルール
• §5.10 積分から微分方程式へ——物理法則の局所化
• §5.11 第II部への展望——ホッジ・スターへの伏線
• 付録C：外微分の行列表示
• C.1 $0$-form：$df$ の $1 \times 3$ 行ベクトル
• C.2 $1$-form：係数のヤコビ行列 $\mathbf{J}$
• C.3 $d\omega = \mathbf{J}^T - \mathbf{J}$
• C.4 $2$-form：$d\eta$ とヤコビ行列のトレース
• C.5 $d^2 f = 0$ とヘッセ行列

第6章：計量 $g$ とホッジ・スター $\ast$ — 内積の召喚と次数の反転

• §6.0 言い訳の終焉——内積を解放する
• §6.1 パラメータ空間の内積——計量 $g$ の正体
• §6.2 $g$ による縦ベクトルと横ベクトルの変換
• §6.3 ホッジ・スター $\ast$ ——二つの方法を繫ぐ対応
• §6.4 対応の実例——微分形式とベクトル解析
• §6.5 ナブラの三兄弟を解体する
• §6.6 第II部の結び —— 第III部へ
• 付録D：フロベニウス積とホッジ・スターの完全な行列表現
• D.1 行列の内積——フロベニウス積
• D.2 $\ast_{1\to2}$ ——行列の縦ベクトル
• D.3 $\ast_{2\to1}$ ——フロベニウス積による係数抽出
• D.4 転置関係
• D.5 $E_k \cdot M$ の成分
• D.6 $\ast$ の二回作用

第7章：ベクトル解析 —— ナブラの登場

• §7.0 ナブラの登場
• §7.1 ドット積とクロス積
• §7.2 $\nabla$ と勾配
• §7.3 発散
• §7.4 回転
• §7.5 ラプラシアン
• §7.6 恒等式
• §7.7 ナブラの公式集
• §7.8 積分定理——ストークス・ガウス・グリーン
• §7.9 第III部へ —— 矢印を見るな、測定器を見ろ

第8章：二つの言語 —— 測定器の微分と、場の微分

• §8.0 本書のハイライト
• §8.1 二つの微分、二つの世界
• §8.2 翻訳辞書の完成
• §8.3 ストークスの定理を翻訳する
• §8.4 ガウスの定理を翻訳する
• §8.5 二つの方法論——場はそのままか、測定器はそのままか
• §8.6 曲線座標と二つの方法

第9章：実戦 —— 辞書を作り、難問を解く

• §9.0 本書の中心的な道具は揃った
• §9.1 辞書をその場で作る——機械的手順
• §9.2 円柱座標 $(r,\theta,z)$
• §9.3 球座標 $(\rho,\theta,\phi)$
• §9.4 微積分の難問——球座標でのベクトルラプラシアン
• §9.5 電磁気学の難問——点電荷の電場と発散
• §9.6 辞書は終わり、旅は続く

第10章：マクスウェル方程式 —— 美しさのその先へ

• §10.0 お約束
• §10.1 マクスウェル方程式——2本で書く
• §10.2 電磁場 $F$ と符号規約の固定
• §10.3 ミンコフスキー計量——$\mathbb{R}^3$ から4次元へ
• §10.4 $dF=0$ を全部書き下す
• §10.5 $\ast F$ と残りの2本
• §10.6 ポテンシャル構成——$F=-d\mathcal{A}$ から始める
• 付録E：$dF$ と $d(\ast F)$ のスライス行列表示 —— $4\times4\times4$ 配列で見るマクスウェル方程式
• E.1 基底 $3$-form とそのスライス行列 —— 全16枚
• E.2 $dF$ をスライス行列で書く
• E.3 フロベニウス積で係数を抜き出す
• E.4 $dF=0$ をスライスで読む
• E.5 $d(\ast F) = \mu_0(\ast\mathcal{J})$ のスライス表示

第11章：曲がった空間へ —— 本書の先にあるもの

• §11.0 この章の立ち位置 —— さらに先を見たい読者のための道標
• §11.1 多様体 —— $\mathbf{g}(x)$ から始める
• §11.2 リーマン幾何学 —— テンソル解析のスタイル
• §11.3 その先へ

第12章：真のナブラ —— クリフォード・パウリ・ディラック・ハミルトン

• §12.0 2本を1本に
• §12.1 虚数で一本に —— マクスウェル方程式の統合
• §12.2 パウリ行列 —— 異なる次数を足す魔法
• §12.3 ディラック演算子と「真のナブラ」
• §12.4 演算子$\nabla$