おわりに：『ナブラ解体新書』はいかにして生まれたか

長い旅路を終えた読者の皆さんに、まずは心からの敬意を表したいと思います。

本書を閉じるにあたり、この奇妙で、いささか強引な構成を持つ『ナブラ解体新書』がいかにして生まれたのか、少しだけ舞台裏の話をさせてください。

ことの発端は、私自身の苦い記憶にあります。多くの物理学徒と同じように、私もまた「ベクトル解析」の泥沼で溺れかけた一人でした。円柱座標や球座標の $\mathrm{rot}$ や $\mathrm{div}$ を前に、「なぜこんな形になるのか」という問いは「とにかく公式を暗記せよ」という圧力に封殺されました。微分形式がその特効薬であることは知っていましたが、数学書の公理的アプローチは初学者の私には抽象度が高すぎました。

「旧体制の泥沼から抜け出す、『銀の弾丸』はないものか」——そう考えていた私に、第一のブレイクスルーが訪れました。個人的な話になりますが、当時の私は量子力学の勉強になかなかのめり込んでおり、ディラックの「ブラ・ケット記法」の扱いに慣れ親しんでいました。状態ベクトル（タテベクトル）を双対ベクトル（ヨコベクトル）として寝かせ、行列の積として颯爽と計算していく、あの感覚です。ふと、この私の中にあった量子力学の直観を、古典的な3次元ユークリッド空間の $dx, dy, dz$ にそのままパッチ当てしてみたらどうだろうかと考えました。積分記号の尻尾の $dx$ を「変位ベクトルから成分を抽出するヨコベクトル（行列）」として定義し直せば、「ベクトルを食べる関数（1-form）」という抽象概念を、誰もが知る「行列の掛け算」へと瞬時に変換できるのです。

しかし、これだけではまだ足りませんでした。そこで第二のブレイクスルーをもたらしてくれたのが、W. L. Burke が提唱した「計量導入の遅延（put the metric later and later into the course）」という強烈な教育的哲学でした。私は決意しました。この高度な哲学を、読者を巻き込む「目次構成の教育的エンターテインメント」にしてやろう、と。

第1章から第5章までは、計量という概念を形式的に定義せず、実空間 $(x,y,z)$ における素朴な長さ・面積の直観に基づいた代数で押し通しました。数学者向けの数学書から見れば「面積には計量が必要だ」と言いたくなる場面でしょうが、本書の序盤では $xyz$ のデカルト座標に固定し、ピタゴラスの定理が成り立つ範囲で、素朴な面積・体積の直観をあえて使いました。計量 $g = J^T J$ が真に必要になるのは、パラメータ空間のような目盛りの歪んだ座標系へ一般化するときである——その事実を、第6章で行列計算を通じて発見的に導き出しました。

そして迎えた第6章の冒頭。「筆者もそろそろ飽きてきた」と、数学者へのエクスキューズを打ち切り、内積を正式に定義しました。同時に、計量 $g = J^T J$ の意味を明らかにし、ホッジ・スター $\ast$ を「微分形式とベクトル解析を繫ぐ型変換アダプタ」として位置づけました。この発見的構成を通じて、「勾配（ $d$ ）は計量に依存しないが、回転や発散（ $\ast d$ や $\ast d \ast$ ）は計量に依存している」という構造を、読者に納得してもらうための仕掛けでした。

これらのアイデアのうち、Burke の「計量遅延」哲学や Flanders の微分形式の物理応用は、いずれも既存の英語文献に書かれています。本書の内容に数学的な新規性はありません。ただ、$dx$ を行列として定義し全編を通じて行列計算で押し切るこの構成は、筆者の知る限り洋書にも見当たりません。東アジアの学生が行列計算に異様に訓練されているだけなのだろうか——などと茶化しつつ、いずれにせよ筆者が自分自身のために書いたものを整理したに過ぎません。本書が立っている巨人たちの肩については、巻末の参考文献を見ていただければと思います。

本書は、ベクトル解析に挫折したかつての私自身に向けて書いた「サバイバルガイド」です。もはやベクトル解析を飛び越え、「外微分」「引き戻し」「計量」「ホッジ・スター $\ast$」といった強力なツールと、デカルト座標の限界を知ったあなたなら、すでに次の世界への扉を開いています。

ここで、本書を読破したあなたに最後に伝えたいことがあります。本書は「計量」と「トポロジー」を分離する方針で始まりましたが、正直なところ、計量は随所でこっそり漏れ出ています。このあたりの徹底ぶりは Burke の原著には及びません。ほどほどに分離しつつ、行きつ戻りつしながらようやく辿り着いたのが本書の姿です。しかし、この不完全さには思いがけない効用があります。骨の髄まで分離の苦しみを味わったあなたは、次に出会う「統合」に備えています。C. Doran と A. Lasenby らが提唱する「幾何代数（Geometric Algebra）」——そこでは、我々が引き裂いてきた内積と外積が、最初から「幾何積」として一つに融合しています。抽象的な理論としてではなく、長年の煩わしさからの解放として、それは感じられるはずです。 筆者も未だその全容を掴めず、しかしその魅力に惹かれて探求中です。この苦しみを共有した読者の中から、この先、同じように強く惹きつけられる人が少なからず現れるのではないかと思います。

『ナブラ解体新書』が、あなたの物理学の旅において、より高く、より遠くへ飛ぶための強靭な足場となることを、著者として心から願っています。